Klassifizierender Raum von SU(n)

Der klassifizierende Raum ${\displaystyle \operatorname {BSU} (n)}$ der speziellen unitären Lie-Gruppe ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$ ist der Basisraum des universellen ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$-Hauptfaserbündels ${\displaystyle \operatorname {ESU} (n)\rightarrow \operatorname {BSU} (n)}$. Das bedeutet, dass ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$-Hauptfaserbündel über einem CW-Komplex in Bijektion mit den Homotopieklassen von dessen stetigen Abbildungen in ${\displaystyle \operatorname {BSU} (n)}$ stehen. Die Bijektion ist das zurückgezogene Hauptfaserbündel. Eine spezielle Anwendung sind SU(2)-Hauptfaserbündel.

Es gibt eine kanonische Inklusion von komplexen orientierten Grassmann-Mannigfaltigkeiten gegeben durch ${\displaystyle {\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {C} ^{k})\hookrightarrow {\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {C} ^{k+1}),V\mapsto V\times \{0\}}$. Deren direkter Limes ist:

${\displaystyle \operatorname {BSU} (n):={\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {C} ^{\infty }):=\lim _{n\rightarrow \infty }{\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {C} ^{k}).}$

Da reelle orientierte Graßmann-Mannigfaltigkeiten sich als homogene Räume ausdrücken lassen durch:

${\displaystyle {\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {C} ^{k})=\operatorname {SU} (n+k)/(\operatorname {SU} (n)\times \operatorname {SU} (k))}$

überträgt sich die ${\displaystyle \operatorname {SU} (n+k)}$-Wirkung auf ${\displaystyle \operatorname {BSU} (n)}$.

• Es ist ${\displaystyle \operatorname {SU} (1)\cong 1}$ die triviale Gruppe und daher ${\displaystyle \operatorname {BSU} (1)\cong \{*\}}$ der triviale topologische Raum.

• Es ist ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)\cong \operatorname {Sp} (1)}$ und daher ${\displaystyle \operatorname {BSU} (2)\cong \operatorname {BSp} (1)\cong \mathbb {H} P^{\infty }}$ der unendliche quaternionische projektive Raum.

Für einen topologischen Raum ${\displaystyle X}$ sei ${\displaystyle \operatorname {Prin} _{\operatorname {SU} (n)}(X)}$ die Menge der ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)}$-Hauptfaserbündel auf diesem bis auf Isomorphie. Ist ${\displaystyle X}$ ein CW-Komplex, dann ist die Abbildung:

${\displaystyle [X,\operatorname {BSU} (n)]\rightarrow \operatorname {Prin} _{\operatorname {SU} (n)}(X),[f]\mapsto f^{*}\operatorname {ESU} (n)}$

bijektiv.^[1]

Der Kohomologiering von ${\displaystyle \operatorname {BSU} (n)}$ mit Koeffizienten im Ring ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ der ganzen Zahlen wird von den Chern-Klassen erzeugt:^[2]

${\displaystyle H^{*}(\operatorname {BSU} (n);\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [c_{2},\ldots ,c_{n}].}$

Die kanonische Inklusionen ${\displaystyle \operatorname {SU} (n)\hookrightarrow \operatorname {SU} (n+1)}$ induzieren kanonische Inklusionen ${\displaystyle \operatorname {BSU} (n)\hookrightarrow \operatorname {BSU} (n+1)}$auf ihren jeweiligen klassifizierenden Räumen. Die direkten Limiten dieser beiden Ketten an Inklusionen werden jeweils als:

${\displaystyle \operatorname {SU} :=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {SU} (n)}$

${\displaystyle \operatorname {BSU} :=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {BSU} (n)}$

bezeichnet. ${\displaystyle \operatorname {BSU} }$ ist dabei tatsächlich der klassifizierende Raum von ${\displaystyle \operatorname {SU} }$.

• Klassifizierender Raum von O(n)
• Klassifizierender Raum von SO(n)
• Klassifizierender Raum von U(n)

• Allen Hatcher: Algebraic topology. Hrsg.: Cambridge University Press, Cambridge. 2002, ISBN 0-521-79160-X (englisch, cornell.edu). 
• Stephen Mitchell: Universal principal bundles and classifying spaces. August 2001 (englisch, mit.edu [PDF]). 

• classifying space auf nLab (englisch)
• BSU(n) auf nLab (englisch)

1. ↑ universal principal bundle. In: 𝑛Lab. Abgerufen am 14. März 2024 (englisch). 
2. ↑ Hatcher 02, Example 4D.7.