SU(2)-Hauptfaserbündel

${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$-Hauptfaserbündel (auch ${\displaystyle \operatorname {Sp} (1)}$-Hauptfaserbündel) sind im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie spezielle Hauptfaserbündel mit der zweiten speziellen unitären Gruppe ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ (isomorph zur ersten symplektischen Gruppe ${\displaystyle \operatorname {Sp} (1)}$) als Strukturgruppe. Topologisch hat diese die Struktur der dreidimensionalen Sphäre, dadurch sind ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$-Hauptfaserbündel insbesondere Sphärenbündel, jedoch mit einer zusätzlichen Gruppenwirkung.

${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$-Hauptfaserbündel finden Anwendung in vielen Teilgebieten der Mathematik, etwa im mit der Fields-Medaille ausgezeichneten Beweis des Donaldson-Theorems^[1][2] oder der Instanton-Floer-Homologie. Da ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ die Eichgruppe der schwachen Wechselwirkung ist, sind ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$-Hauptfaserbündel auch in der theoretischen Physik von Bedeutung. Insbesondere können ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$-Hauptfaserbündel über der vierdimensionalen Sphäre ${\displaystyle S^{4}}$ (wozu die komplexe Hopf-Faserung gehört) zur Beschreibung hypothetischer magnetischer Monopole in fünf Dimensionen, genannt Wu-Yang-Monopole, verwendet werden, siehe auch vierdimensionale Yang-Mills-Theorie und Wu-Yang-Korrespondenz.

${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$-Hauptfaserbündel sind Verallgemeinerungen von kanonischen Projektionsabbildungen ${\displaystyle B\times \operatorname {SU} (2)\twoheadrightarrow B}$ für topologische Räume ${\displaystyle B}$, nämlich sodass der Quellenraum nicht ein globales, sondern nur lokales Produkt ist. Konkret ist eine stetige Abbildung ${\displaystyle p\colon E\twoheadrightarrow B}$ mit einer stetigen Rechtsgruppenwirkung ${\displaystyle E\times \operatorname {SU} (2)\rightarrow E}$, welche alle Urbilder einzelner Punkte erhält, also ${\displaystyle p(eg)=p(e)}$ für alle ${\displaystyle e\in E}$ und ${\displaystyle g\in \operatorname {SU} (2)}$ erfüllt, sowie frei und transitiv auf allen Urbildern einzelner Punkte wirkt, also sodass diese alle jeweils homöomorph zu ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ sind, ein ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$-Hauptfaserbündel.^[3][4]

Da Hauptfaserbündel insbesondere Faserbündel sind, bei denen genau die Gruppenwirkung fehlt, können deren Benennungen übertragen werden, also wird ${\displaystyle E}$ auch Totalraum und ${\displaystyle B}$ auch Basisraum genannt. Urbilder einzelner Punkte sind dann die namensgebenden Fasern. Da ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ insbesondere eine Lie-Gruppe ist, also insbesondere eine glatte Mannigfaltigkeit, wird für den Basisraum ${\displaystyle B}$ oft auch eine glatte Mannigfaltigkeit gewählt, was den Totalraum ${\displaystyle E}$ automatisch zu einer glatten Mannigfaltigkeit macht.

${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$-Hauptfaserbündel können mithilfe des klassifizierenden Raumes ${\displaystyle \operatorname {BSU} (2)}$ der zweiten speziellen unitären Gruppe ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$, welcher genau der unendliche quaternionische projektive Raum ${\displaystyle \mathbb {H} P^{\infty }}$ ist, vollständig klassifiziert werden. Für einen topologischen Raum ${\displaystyle B}$ sei ${\displaystyle \operatorname {Prin} _{\operatorname {SU} (2)}(B)}$ der Raum der Isomorphieklassen von ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$-Hauptfaserbündeln, dann gibt es eine Bijektion mit Homotopieklassen:^[5]

${\displaystyle \operatorname {Prin} _{\operatorname {SU} (2)}(B)\cong [B,\operatorname {BSU} (2)]\cong [B,\mathbb {H} P^{\infty }].}$

${\displaystyle \mathbb {H} P^{\infty }}$ ist ein Zellkomplex mit dem ${\displaystyle n}$-Skelett ${\displaystyle \mathbb {H} P^{k}}$ für die größte natürliche Zahl ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ mit ${\displaystyle 4k\leq n}$.^[6] Für einen ${\displaystyle n}$-dimensionalen Zellkomplex ${\displaystyle B}$ lässt sich nach dem zellulären Approximationssatz^[7] jede stetige Abbildung ${\displaystyle B\rightarrow \mathbb {H} P^{\infty }}$ in eine zelluläre Abbildung homotopieren, welche insbesondere über die kanonsiche Inklusion ${\displaystyle \mathbb {H} P^{k}\hookrightarrow \mathbb {H} P^{\infty }}$ faktorisiert. Entsprechend ist die induzierte Abbildung ${\displaystyle [B,\mathbb {H} P^{k}]\rightarrow [B,\mathbb {H} P^{\infty }]}$ surjektiv, aber nicht unbedingt injektiv, da die höheren Zellen von ${\displaystyle \mathbb {H} P^{\infty }}$ zusätzliche Homotopien erlauben. Insbesondere für maximal siebendimensionale Zellkomplexe ${\displaystyle B}$ mit ${\displaystyle k=1}$ ergibt sich dadurch mit ${\displaystyle \mathbb {H} P^{1}\cong S^{4}}$ eine Verbindung zu Kohomotopiemengen mit einer surjektiven Abbildung:

${\displaystyle \pi ^{4}(B)\rightarrow \operatorname {Prin} _{\operatorname {SU} (2)}(B).}$

Ist ${\displaystyle B}$ eine 4-Mannigfaltigkeit gilt tatsächlich sogar Injektivität und dadurch Bijektivität, da sich alle Homotopien sich sogar in das ${\displaystyle 5}$-Skelett ${\displaystyle S^{4}}$ von ${\displaystyle \mathbb {H} P^{\infty }}$ verschieben lassen. Ist ${\displaystyle B}$ eine 5-Mannigfaltigkeit gilt das nicht mehr aufgrund von möglicher Torsion in der Kohomologie.^[8]

${\displaystyle \mathbb {H} P^{\infty }}$ ist unter Rationalisierung der rationalisierte Eilenberg-MacLane-Raum ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,4)_{\mathbb {Q} }}$, aber selbst nicht der Eilenberg-MacLane-Raum ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,4)}$,^[9] mit welchem singuläre Kohomologie dargestellt wird,^[10] vergleiche mit dem Brownschen Darstellungssatz. Durch den Postnikov-Turm^[11] gibt es eine kanonische Abbldung ${\displaystyle \mathbb {H} P^{\infty }\rightarrow K(\mathbb {Z} ,4)}$ und dadurch durch Nachkomposition eine kanonische Abbildung:

${\displaystyle \operatorname {Prin} _{\operatorname {SU} (2)}(B)\rightarrow H^{4}(B,\mathbb {Z} ).}$

(Die Komposition ${\displaystyle \pi ^{4}(B)\rightarrow H^{4}(B,\mathbb {Z} )}$ is die Hurewicz-Abbildung.) Eine entsprechende Abbildung wird durch die zweite Chern-Klasse beschrieben. Ist ${\displaystyle B}$ wieder eine 4-Mannigfaltigkeit, ist die Klassifikation eindeutig.^[12] Zwar sind charakteristische Klassen für Vektorbündel definiert, können jedoch auch auf spezielle Hauptfaserbündel übertragen werden.

Einem ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$-Hauptfaserbündel ${\displaystyle E\twoheadrightarrow B}$ kann über das balancierte Produkt ein komplexes Ebenenbündel ${\displaystyle E\times _{\operatorname {SU} (2)}\mathbb {C} ^{2}\twoheadrightarrow B}$ zugeordnet werden. Anschaulich werden dabei die Sphären an jedem Punkt über die Inklusion ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)\subset \mathbb {C} ^{2}}$ aufgefüllt.

Da die Determinante von speziellen unitären Matrizen immer konstant ist, wird das Determinantenbündel dieses Vektorbündels durch eine konstante Abbildung klassifiziert und ist daher trivial. Da das Determinantenbündel zudem die erste Chern-Klasse erhält, ist diese immer trivial. Dadurch wird das Vektorbündel nur durch die zweite Chern-Klasse ${\displaystyle c_{2}\colon \operatorname {Vect} _{\mathbb {C} }(B)\rightarrow H^{4}(B,\mathbb {Z} )}$ beschrieben.

Mit der kanonischen Inklusion ${\displaystyle \operatorname {U} (1)\hookrightarrow \operatorname {SU} (2),z\mapsto \operatorname {diag} (z,z^{-1})}$ lässt sich jedem ${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$-Hauptfaserbündel ${\displaystyle E\twoheadrightarrow B}$ ein ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$-Hauptfaserbündel ${\displaystyle {\widehat {E}}\twoheadrightarrow B}$ zuordnen. Ist ${\displaystyle L=E\times _{\operatorname {U} (1)}\mathbb {C} }$ das assoziierte komplexe Geradenbündel von ${\displaystyle E}$, dann ist ${\displaystyle L\oplus L^{-1}={\widehat {E}}\times _{\operatorname {SU} (2)}\mathbb {C} ^{2}}$ das assoziierte komplexe Ebenenbündel von ${\displaystyle {\widehat {E}}}$, genau wie von der kanonischen Inklusion beschrieben. Dabei sind die Chern-Klassen von ${\displaystyle {\widehat {E}}}$ gegeben durch:^[13][14]

${\displaystyle c_{1}({\widehat {E}})=c_{1}(L\oplus L^{-1})=c_{1}(L)+c_{1}(L^{-1})=0;}$

${\displaystyle c_{2}({\widehat {E}})=c_{2}(L\oplus L^{-1})=c_{2}(L)+c_{2}(L^{-1})+c_{1}(L)c_{1}(L^{-1})=-c_{1}(L)^{2}=-c_{1}(E)^{2}.}$

Ist ${\displaystyle E\twoheadrightarrow B}$ ein ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$-Hauptfaserbündel über einem Zellkomplex ${\displaystyle B}$ mit ${\displaystyle c_{1}(F)=0}$ und ${\displaystyle c_{2}(F)=-c^{2}}$ für eine singuläre Kohomologieklasse ${\displaystyle c\in H^{2}(B,\mathbb {Z} )}$, dann existiert ein ${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$-Hauptfaserbündel ${\displaystyle E\twoheadrightarrow B}$ mit ${\displaystyle c_{1}(E)=c}$ , da die erste Chern-Klasse von ${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$-Hauptfaserbündeln über Zellkomplexen ein Isomorphismus ist.^[15] Daher haben ${\displaystyle {\widehat {E}}}$ und ${\displaystyle F}$ identische Chern-Klassen. Ist ${\displaystyle B}$ eine 4-Mannigfaltigkeit sind die beiden ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$-Hauptfaserbündel daher isomorph aufgrund der eindeutigen Klassifikation durch die zweite Chern-Klasse.^[8][16]

Für das assoziierte Vektorbündel ist notwendig, dass ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ eine Matrix-Lie-Gruppe ist. Daneben gibt es noch das adjungierte Vektorbündel, für welches das nicht notwendig ist, da die immer existierende adjungierte Darstellung ${\displaystyle \operatorname {Ad} \colon \operatorname {SU} (2)\rightarrow \operatorname {Aut} ({\mathfrak {su}}(2))\cong \operatorname {SL} _{3}(\mathbb {R} )}$ mit induzierter Abbildung ${\displaystyle {\mathcal {B}}\operatorname {Ad} \colon \operatorname {BSU} (2)\rightarrow \operatorname {BSL} _{3}(\mathbb {R} )\cong \operatorname {BSO} (3)}$ verwendet wird. Tatsächlich ist die adjungierte Darstellung sogar die doppelte Überlagerung ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)\cong \operatorname {Spin} (3)\rightarrow \operatorname {SO} (3)}$.^[17] Für ein ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$-Hauptfaserbündel ${\displaystyle E\twoheadrightarrow B}$ mit klassifizierender Abbildung ${\displaystyle f\colon B\rightarrow \operatorname {BSU} (2)}$ mit ${\displaystyle E\cong f^{*}\operatorname {ESU} (2)}$ ist das adjungierte Vektorbündel gegeben durch:

${\displaystyle \operatorname {Ad} (E):=E\times _{\operatorname {SU} (2)}{\mathfrak {su}}(2)=({\mathcal {B}}\operatorname {Ad} \circ f)^{*}\gamma _{\mathbb {R} }^{3}}$

Da es wie gerade beschrieben eine Spin-Struktur hat, verschwinden dessen erste und zweite Stiefel-Whitney-Klasse. Die erste Pontrjagin-Klasse ist gegeben durch:^[17]

${\displaystyle p_{1}(\operatorname {Ad} (E))=-4c_{2}(E)\in H^{4}(B,\mathbb {Z} ).}$

Im Gegensatz zum assoziierten Vektorbündel, einem komplexen Ebenenbündel, ist das adjungierte Vektorbündel also ein orientierbares reelles Vektorbündel dritten Ranges. Auch da ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$ bei vorderem durch einfache Multiplikation und bei hinterem durch Konjugation wirkt, sind die Vektorbündel verschieden. Eine Anwendung des adjungierten Vektorbündels ist auf die Zusammenhänge oder allgemeiner Lie-algebrenwertigen Differentialformen auf dem ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$-Hauptfaserbündel:

${\displaystyle \Omega _{\operatorname {Ad} }^{k}(E,{\mathfrak {su}}(2))\cong \Omega ^{k}(B,\operatorname {Ad} (E))}$

• Per Definition des quaternionischen projektiven Raumes ist die kanonische Projektion ${\displaystyle S^{4n+3}\twoheadrightarrow \mathbb {H} P^{n}}$ ein ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$-Hauptfaserbündel. Mit ${\displaystyle \mathbb {H} P^{1}\cong S^{4}}$ ist die komplexe Hopf-Faserung ${\displaystyle h_{\mathbb {H} }\colon S^{7}\twoheadrightarrow S^{4}}$ ein wichtiger Spezialfall. Im allgemeinen Fall ist die klassifizierende Abbildung einfach die kanonsiche Inklusion:

  ${\displaystyle \mathbb {H} P^{n}\hookrightarrow \mathbb {H} P^{\infty }\cong \operatorname {BSU} (2).}$

• Es gilt ${\displaystyle S^{2n+1}\cong \operatorname {SU} (n+1)/\operatorname {SU} (n)}$, also gibt es ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$-Hauptfaserbündel ${\displaystyle \operatorname {SU} (3)\twoheadrightarrow S^{5}}$. Solche Hauptfaserbündel werden klassifiziert durch:^[18]

  ${\displaystyle \pi _{5}\operatorname {BSU} (2)\cong \pi _{4}\operatorname {SU} (2)\cong \pi _{4}S^{3}\cong \mathbb {Z} _{2}.}$

${\displaystyle \operatorname {SU} (3)\twoheadrightarrow S^{5}}$ ist das eindeutige nichttriviale Hauptfaserbündel, was etwa über die vierte Homotopiegruppe erfasst wird:

${\displaystyle \pi _{4}\operatorname {SU} (3)\cong 1,}$^[19][20]

${\displaystyle \pi _{4}(S^{5}\times \operatorname {SU} (2))\cong \pi _{4}(S^{5})\times \pi _{4}(S^{3})\cong \mathbb {Z} _{2}.}$

• Es gilt ${\displaystyle S^{4n+3}\cong \operatorname {Sp} (n+1)/\operatorname {Sp} (n)}$, also gibt es (mit ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)\cong \operatorname {Sp} (1)}$) ein ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$-Hauptfaserbündel ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2)\twoheadrightarrow S^{7}}$. Solche Hauptfaserbündel werden klassifiziert durch:^[18]

  ${\displaystyle \pi _{7}\operatorname {BSU} (2)\cong \pi _{6}\operatorname {SU} (2)\cong \pi _{6}S^{3}\cong \mathbb {Z} _{12}.}$

• U(1)-Hauptfaserbündel

• principal SU(2)-bundle auf nLab (englisch)

• Simon Donaldson: An application of gauge theory to four-dimensional topology. In: Journal of Differential Geometry. 18. Jahrgang, Nr. 2, 1983, doi:10.4310/jdg/1214437665 (englisch). 
• Simon Donaldson: The orientation of Yang-Mills moduli spaces and 4-manifold topology. In: Journal of Differential Geometry. 26. Jahrgang, Nr. 3, 1987, doi:10.4310/jdg/1214441485 (englisch). 
• Daniel Freed und Karen Uhlenbeck: Instantons and 4-Manifolds. Cambridge University Press, 1991, ISBN 978-1-4613-9705-2 (englisch). 

• Allen Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge University Press, 2001, ISBN 0-521-79160-X (englisch, cornell.edu). 
• Stephen Mitchell: Notes on principal bundles and classifying spaces. 2011; abgerufen im 1. Januar 1. 
• Allen Hatcher: Vector Bundles and K-Theory. November 2017 (englisch, cornell.edu [PDF; 1,6 MB]). 

1. ↑ Donaldson 1983
2. ↑ Donaldson 1987
3. ↑ Freed & Uhlenbeck 1984, S. 29
4. ↑ Mitchell 2001, S. 2
5. ↑ Mitchell 2011, Theorem 7.4
6. ↑ Hatcher 2001, S. 222
7. ↑ Hatcher 2001, Theorem 4.8.
8. ↑ ^{a b} Freed & Uhlenbeck 1984, Theorem E.5.
9. ↑ Hatcher 2001, Example 4.50.
10. ↑ Hatcher 2001, Theorem 4.57.
11. ↑ Hatcher 2001, S. 410
12. ↑ Donaldson 1983, S. 282
13. ↑ Donaldson 1983, S. 287
14. ↑ Freed & Uhlenbeck 1984, S. 34
15. ↑ Hatcher 2017, Proposition 3.10.
16. ↑ Freed & Uhlenbeck 1984, Proposition 2.11.
17. ↑ ^{a b} Freed & Uhlenbeck 1984, S. 180
18. ↑ ^{a b} Mitchell 2011, Corollary 11.2
19. ↑ Mamoru Mimura und Hiroshi Toda: Homotopy Groups of SU(3), SU(4) and Sp(2). In: Journal of Mathematics of Kyoto University. 3. Jahrgang, Nr. 2, 1963, S. 217–250, doi:10.1215/kjm/1250524818 (englisch, projecteuclid.org). 
20. ↑ Donaldson 1983, S. 295