Klassifizierender Raum von SO(n)

Der klassifizierende Raum ${\displaystyle \operatorname {BSO} (n)}$ der speziellen orthogonalen Lie-Gruppe ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ ist der Basisraum des universellen ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$-Hauptfaserbündels ${\displaystyle \operatorname {ESO} (n)\rightarrow \operatorname {BSO} (n)}$. Das bedeutet, dass ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$-Hauptfaserbündel über einem CW-Komplex in Bijektion mit den Homotopieklassen von dessen stetigen Abbildungen in ${\displaystyle \operatorname {BSO} (n)}$ stehen. Die Bijektion ist durch das zurückgezogene Hauptfaserbündel gegeben. Eine spezielle Anwendung sind SO(2)-Hauptfaserbündel.

Es gibt eine kanonische Inklusion von reellen orientierten Grassmann-Mannigfaltigkeiten gegeben durch ${\displaystyle {\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {R} ^{k})\hookrightarrow {\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {R} ^{k+1}),V\mapsto V\times \{0\}}$. Deren direkter Limes ist:^[1]

${\displaystyle \operatorname {BSO} (n):={\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {R} ^{\infty }):=\lim _{n\rightarrow \infty }{\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {R} ^{k}).}$

Da reelle orientierte Graßmann-Mannigfaltigkeiten sich als homogene Räume ausdrücken lassen durch:

${\displaystyle {\widetilde {\operatorname {Gr} }}_{n}(\mathbb {R} ^{k})=\operatorname {SO} (n+k)/(\operatorname {SO} (n)\times \operatorname {SO} (k))}$

überträgt sich die ${\displaystyle \operatorname {SO} (n+k)}$-Wirkung auf ${\displaystyle \operatorname {BSO} (n)}$.

• Es ist ${\displaystyle \operatorname {SO} (1)\cong 1}$ die triviale Gruppe und daher ${\displaystyle \operatorname {BSO} (1)\cong \{*\}}$ der triviale topologische Raum.

• Es ist ${\displaystyle \operatorname {SO} (2)\cong \operatorname {U} (1)}$ und daher ${\displaystyle \operatorname {BSO} (2)\cong \operatorname {BU} (1)\cong \mathbb {C} P^{\infty }}$ der unendliche komplexe projektive Raum.

Für einen topologischen Raum ${\displaystyle X}$ sei ${\displaystyle \operatorname {Prin} _{\operatorname {SO} (n)}(X)}$ die Menge der ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$-Hauptfaserbündel auf diesem bis auf Isomorphie. Ist ${\displaystyle X}$ ein CW-Komplex, dann ist die Abbildung:

${\displaystyle [X,\operatorname {BSO} (n)]\rightarrow \operatorname {Prin} _{\operatorname {SO} (n)}(X),[f]\mapsto f^{*}\operatorname {ESO} (n)}$

bijektiv.^[2]

Der Kohomologiering von ${\displaystyle \operatorname {BSO} (n)}$ mit Koeffizienten in ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ wird von den Stiefel–Whitney-Klassen erzeugt:^[3][4]

${\displaystyle H^{*}(\operatorname {BSO} (n);\mathbb {Z} _{2})=\mathbb {Z} _{2}[w_{2},\ldots ,w_{n}].}$

Dieses Resultat gilt allgemeiner für alle Körper mit Charakteristik ${\displaystyle \operatorname {char} =2}$.

Der Kohomologiering von ${\displaystyle \operatorname {BSO} (n)}$ mit Koeffizienten im Körper ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ der rationalen Zahlen wird von den Pontrjagin-Klassen und der Euler-Klasse erzeugt:

${\displaystyle H^{*}(\operatorname {BSO} (2n);\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Q} [p_{1},\ldots ,p_{n},e]/(p_{n}-e^{2}),}$

${\displaystyle H^{*}(\operatorname {BSO} (2n+1);\mathbb {Q} )\cong \mathbb {Q} [p_{1},\ldots ,p_{n}].}$

Diese Resultate gelten allgemeiner für alle Körper mit Charakteristik ${\displaystyle \operatorname {char} \neq 2}$.

Die kanonische Inklusionen ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)\hookrightarrow \operatorname {SO} (n+1)}$ induzieren kanonische Inklusionen ${\displaystyle \operatorname {BSO} (n)\hookrightarrow \operatorname {BSO} (n+1)}$auf ihren jeweiligen klassifizierenden Räumen. Die direkten Limiten dieser beiden Ketten an Inklusionen werden jeweils als:

${\displaystyle \operatorname {SO} :=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {SO} (n)}$

${\displaystyle \operatorname {BSO} :=\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {BSO} (n)}$

bezeichnet. ${\displaystyle \operatorname {BSO} }$ ist dabei tatsächlich der klassifizierende Raum von ${\displaystyle \operatorname {SO} }$.

• Klassifizierender Raum von O(n)
• Klassifizierender Raum von U(n)
• Klassifizierender Raum von SU(n)

• John Milnor, James Stasheff: Characteristic classes. Hrsg.: Princeton University Press. 1974, ISBN 978-0-691-08122-9, doi:10.1515/9781400881826 (englisch, ed.ac.uk [PDF]). 
• Allen Hatcher: Algebraic topology. Hrsg.: Cambridge University Press, Cambridge. 2002, ISBN 0-521-79160-X (englisch, cornell.edu). 
• Stephen Mitchell: Universal principal bundles and classifying spaces. August 2001 (englisch, mit.edu [PDF]). 

• classifying space auf nLab (englisch)
• BSO(n) auf nLab (englisch)

1. ↑ Milnor & Stasheff 74, Sektion 12.2 The Oriented Universal Bundle auf Seite 151
2. ↑ universal principal bundle. In: 𝑛Lab. Abgerufen am 14. März 2024 (englisch). 
3. ↑ Milnor & Stasheff, Theorem 12.4.
4. ↑ Hatcher 02, Example 4D.6.