Twistor-Faserung

Die Twistor-Faserung (auch Calabi-Penrose-Faserung) ist in der Twistor-Theorie, einem Ansatz der Quantengravitation zur Kombination der Quantenfeldtheorie und Gravitation, ein spezielles Faserbündel mit der Riemannschen Zahlenkugel ${\displaystyle \mathbb {C} P^{1}}$ als Faser, dem auch als Twistor-Raum bezeichneten dritten komplexen projektiven Raum ${\displaystyle \mathbb {C} P^{3}}$ als Totalraum und der vierdimensionalen Sphäre ${\displaystyle S^{4}}$ als Basisraum:^[1]

${\displaystyle S^{2}\rightarrow \mathbb {C} P^{3}\rightarrow S^{4}.}$

Da ${\displaystyle S^{2}}$ keine topologische Gruppe ist (und insbesondere keine Lie-Gruppe), ist die Twistor-Faserung kein Hauptfaserbündel.

Es gibt verschiedene Möglichkeiten zur Konstruktion der Twistor-Faserung:

• Explizit durch die Definition des komplexen und quaternionischen projektiven Raumes gibt es kanonische Abbildungen:

  ${\displaystyle \psi \colon \mathbb {C} ^{2n}\rightarrow \mathbb {H} ^{n},(x,y)\mapsto x+jy;}$

  ${\displaystyle [\psi ]\colon \mathbb {C} P^{2n-1}\rightarrow \mathbb {H} P^{n-1},[z]\mapsto [\psi (z)].}$

Für ${\displaystyle n=2}$ ergibt sich die Twistor-Faserung.

• Indirekt durch die Darstellungen als homogene Räume gibt es eine kanonische Projektion:

  ${\displaystyle \mathbb {C} P^{3}\cong \operatorname {SO} (5)/\operatorname {U} (2)\rightarrow \operatorname {SO} (5)/\operatorname {SO} (4)\cong S^{4}}$

Allgemeiner wird die kanonische Projektionen ${\displaystyle \operatorname {SO} (2n+1)/\operatorname {U} (n)\rightarrow \operatorname {SO} (2n+1)/\operatorname {SO} (2n)\cong S^{2n}}$ als Twistor-Faserung von ${\displaystyle S^{2n}}$ bezeichnet.

Die Komposition der kanonischen Projektion ${\displaystyle S^{7}\twoheadrightarrow \mathbb {C} P^{3}}$, ein U(1)-Hauptfaserbündel, mit der Twistor-Faserung ${\displaystyle \mathbb {C} P^{3}\twoheadrightarrow S^{4}}$ ergibt genau die quaternionische Hopf-Faserung ${\displaystyle S^{7}\twoheadrightarrow S^{4}}$, ein SU(2)-Hauptfaserbündel. Da ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)\cong S^{3}}$ und ${\displaystyle \operatorname {U} (1)\cong S^{1}}$ ergibt sich die Faser der Twistor-Faserung mit der komplexen Hopf-Faserung als ${\displaystyle S^{2}\cong S^{3}/S^{1}}$.

Durch Anklebung von 8-Zellen mit ${\displaystyle \mathbb {C} P^{4}\cong \mathbb {C} P^{3}\cup _{\pi }e^{8}}$ entlang der kanonischen Projektion ${\displaystyle \pi \colon S^{7}\twoheadrightarrow \mathbb {C} P^{3}}$ und ${\displaystyle \mathbb {H} P^{2}\cong S^{4}\cup _{h}e^{8}}$ entlang der quaternionischen Hopf-Faserung ${\displaystyle h\colon S^{7}\twoheadrightarrow S^{4}}$ lässt sich die Twistor-Faserung zu einer stetigen Abbildung ${\displaystyle \mathbb {C} P^{4}\twoheadrightarrow \mathbb {H} P^{2}}$ erweitern.^[2]

• Bonaventure Loo und Alberto Verjovsky: On quotients of Hopf fibrations. In: An International Journal of Mathematics. Nr. 26, 1994, S. 103–108 (units.it). 

• twistor fibration auf nLab (englisch)

1. ↑ Loo & Verjovsky, S. 106
2. ↑ Loo & Verjovsky, S. 107