U(1)-Hauptfaserbündel

${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$-Hauptfaserbündel (auch ${\displaystyle \operatorname {SO} (2)}$-Hauptfaserbündel) sind im mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie spezielle Hauptfaserbündel mit der ersten unitären Gruppe ${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$ (isomorph zur zweiten speziell orthogonalen Gruppe ${\displaystyle \operatorname {SO} (2)}$) als Strukturgruppe. Topologisch hat diese die Struktur der eindimensionalen Sphäre, dadurch sind ${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$-Hauptfaserbündel insbesondere Sphärenbündel, jedoch mit einer zusätzlichen Gruppenwirkung.

${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$-Hauptfaserbündel finden Anwendung in vielen Teilgebieten der Mathematik, etwa bei der Formulierung der Seiberg-Witten-Gleichungen oder der Monopol-Floer-Homologie. Da ${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$ die Eichgruppe der elektromagnetischen Wechselwirkung ist, sind ${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$-Hauptfaserbündel auch in der theoretischen Physik von Bedeutung. Konkret sind die ${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$-Yang-Mills-Gleichungen genau die Maxwell-Gleichungen. Insbesondere können ${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$-Hauptfaserbündel über der zweidimensionalen Sphäre ${\displaystyle S^{2}}$ (wozu die komplexe Hopf-Faserung gehört) zur Beschreibung hypothetischer magnetischer Monopole in drei Dimensionen, genannt Dirac-Monopole, verwendet werden, siehe auch zweidimensionale Yang-Mills-Theorie und Wu-Yang-Korrespondenz.

${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$-Hauptfaserbündel sind Verallgemeinerungen von kanonischen Projektionsabbildungen ${\displaystyle B\times \operatorname {U} (1)\twoheadrightarrow B}$ für topologische Räume ${\displaystyle B}$, nämlich sodass der Quellenraum nicht ein globales, sondern nur lokales Produkt ist. Konkret ist eine stetige Abbildung ${\displaystyle p\colon E\twoheadrightarrow B}$ mit einer stetigen Rechtsgruppenwirkung ${\displaystyle E\times \operatorname {U} (1)\rightarrow E}$, welche alle Urbilder einzelner Punkte erhält, also ${\displaystyle p(eg)=p(e)}$ für alle ${\displaystyle e\in E}$ und ${\displaystyle g\in \operatorname {U} (1)}$ erfüllt, sowie frei und transitiv auf allen Urbildern einzelner Punkte wirkt, also sodass diese alle jeweils homöomorph zu ${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$ sind, ein ${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$-Hauptfaserbündel.^[1][2]

Da Hauptfaserbündel insbesondere Faserbündel sind, bei denen genau die Gruppenwirkung fehlt, können deren Benennungen übertragen werden, also wird ${\displaystyle E}$ auch Totalraum und ${\displaystyle B}$ auch Basisraum genannt. Urbilder einzelner Punkte sind dann die namensgebenden Fasern. Da ${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$ insbesondere eine Lie-Gruppe ist, also insbesondere eine glatte Mannigfaltigkeit, wird für den Basisraum ${\displaystyle B}$ oft auch eine glatte Mannigfaltigkeit gewählt, was den Totalraum ${\displaystyle E}$ automatisch zu einer glatten Mannigfaltigkeit macht.

${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$-Hauptfaserbündel können mithilfe des klassifizierenden Raumes ${\displaystyle \operatorname {BU} (1)}$ der ersten unitären Gruppe ${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$, welcher genau der unendliche komplexe projektive Raum ${\displaystyle \mathbb {C} P^{\infty }}$ ist, vollständig klassifiziert werden. Für einen topologischen Raum ${\displaystyle B}$ sei ${\displaystyle \operatorname {Prin} _{\operatorname {U} (1)}(B)}$ der Raum der Isomorphieklassen von ${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$-Hauptfaserbündeln, dann gibt es eine Bijektion mit Homotopieklassen:^[3]

${\displaystyle \operatorname {Prin} _{\operatorname {U} (1)}(B)\cong [B,\operatorname {BU} (1)]\cong [B,\mathbb {C} P^{\infty }].}$

${\displaystyle \mathbb {C} P^{\infty }}$ ist ein Zellkomplex mit dem ${\displaystyle n}$-Skelett ${\displaystyle \mathbb {C} P^{k}}$ für die größte natürliche Zahl ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ mit ${\displaystyle 2k\leq n}$. Für einen ${\displaystyle n}$-dimensionalen Zellkomplex ${\displaystyle B}$ lässt sich nach dem zellulären Approximationssatz^[4] jede stetige Abbildung ${\displaystyle B\rightarrow \mathbb {C} P^{\infty }}$ in eine zelluläre Abbildung homotopieren, welche insbesondere über die kanonsiche Inklusion ${\displaystyle \mathbb {C} P^{k}\hookrightarrow \mathbb {C} P^{\infty }}$ faktorisiert. Entsprechend ist die induzierte Abbildung ${\displaystyle [B,\mathbb {C} P^{k}]\rightarrow [B,\mathbb {C} P^{\infty }]}$ surjektiv, aber nicht unbedingt injektiv, da die höheren Zellen von ${\displaystyle \mathbb {C} P^{\infty }}$ zusätzliche Homotopien erlauben. Insbesondere für maximal dreidimensionale Zellkomplexe ${\displaystyle B}$ mit ${\displaystyle k=1}$ ergibt sich dadurch mit ${\displaystyle \mathbb {C} P^{1}\cong S^{2}}$ eine Verbindung zu Kohomotopiemengen mit einer surjektiven Abbildung:

${\displaystyle \pi ^{2}(B)\rightarrow \operatorname {Prin} _{\operatorname {U} (1)}(B).}$

${\displaystyle \mathbb {C} P^{\infty }}$ ist auch der Eilenberg-MacLane-Raum ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$,^[5] mit welchem singuläre Kohomologie dargestellt wird,^[6] vergleiche mit dem Brownschen Darstellungssatz:

${\displaystyle \operatorname {Prin} _{\operatorname {U} (1)}(B)\cong H^{2}(B,\mathbb {Z} ).}$

(Die Komposition ${\displaystyle \pi ^{2}(B)\rightarrow H^{2}(B,\mathbb {Z} )}$ is die Hurewicz-Abbildung.) Ein entsprechender Isomorphismus wird durch die erste Chern-Klasse beschrieben. Zwar sind charakteristische Klassen für Vektorbündel definiert, können jedoch auch auf spezielle Hauptfaserbündel übertragen werden.

Einem ${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$-Hauptfaserbündel ${\displaystyle E\twoheadrightarrow B}$ kann über das balancierte Produkt ein komplexes Geradenbündel ${\displaystyle E\times _{\operatorname {U} (1)}\mathbb {C} \twoheadrightarrow B}$ zugeordnet werden. Anschaulich werden dabei die Sphären an jedem Punkt über die Inklusion ${\displaystyle \operatorname {U} (1)\subset \mathbb {C} }$ aufgefüllt. Aufgrund der einen Dimension wird das Vektorbündel nur durch die erste Chern-Klasse ${\displaystyle c_{1}\colon \operatorname {Vect} _{\mathbb {C} }(B)\rightarrow H^{2}(B,\mathbb {Z} )}$ beschrieben, welche über Zellkomplexen ein Isomorphismus ist.^[7]

Ebenfalls gibt es für Hauptfaserbündel noch ein adjungiertes Vektorbündel, welches jedoch für ${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$-Hauptfaserbündel trivial ist.

• Per Definition des komplexen projektiven Raumes ist die kanonische Projektion ${\displaystyle S^{2n+1}\twoheadrightarrow \mathbb {C} P^{n}}$ ein ${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$-Hauptfaserbündel. Mit ${\displaystyle \mathbb {C} P^{1}\cong S^{2}}$, bekannt als Riemannsche Zahlenkugel, ist die komplexe Hopf-Faserung ${\displaystyle h_{\mathbb {C} }\colon S^{3}\twoheadrightarrow S^{2}}$ ein wichtiger Spezialfall. Im allgemeinen Fall ist die klassifizierende Abbildung einfach die kanonsiche Inklusion:

  ${\displaystyle \mathbb {C} P^{n}\hookrightarrow \mathbb {C} P^{\infty }\cong \operatorname {BU} (1).}$

• Es gilt ${\displaystyle S^{2n+1}\cong \operatorname {U} (n+1)/\operatorname {U} (n)}$, also gibt es ein ${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$-Hauptfaserbündel ${\displaystyle \operatorname {U} (2)\twoheadrightarrow S^{3}}$. Solche Hauptfaserbündel werden klassifiziert durch:^[8]

  ${\displaystyle \pi _{3}\operatorname {BU} (1)\cong \pi _{2}\operatorname {U} (1)\cong \pi _{2}S^{1}\cong 1.}$

Also ist das Hauptfaserbündel trivial, was dazu passt, dass ${\displaystyle \operatorname {SU} (2)\cong S^{3}}$ und ${\displaystyle \operatorname {U} (n)\cong \operatorname {SU} (n)\times \operatorname {U} (1)}$.

• Es gilt ${\displaystyle S^{n}\cong \operatorname {SO} (n+1)/\operatorname {SO} (n)}$, also gibt es (mit ${\displaystyle \operatorname {U} (1)\cong \operatorname {SO} (2)}$) ein ${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$-Hauptfaserbündel ${\displaystyle \operatorname {SO} (3)\twoheadrightarrow S^{2}}$. Solche Hauptfaserbündel werden klassifiziert durch:^[8]

  ${\displaystyle \pi _{2}\operatorname {BU} (1)\cong \pi _{1}\operatorname {U} (1)\cong \pi _{1}S^{1}\cong \mathbb {Z} .}$

Es gilt ${\displaystyle \operatorname {SO} (3)\cong \mathbb {R} P^{3}}$ und die Komposition der kanonischen doppelten Überlagerung ${\displaystyle S^{3}\twoheadrightarrow \mathbb {R} P^{3}}$ mit dem Hauptfaserbündel ${\displaystyle \mathbb {R} P^{3}\twoheadrightarrow S^{2}}$ ist genau die komplexe Hopf-Faserung ${\displaystyle S^{3}\twoheadrightarrow S^{2}}$. Da ${\displaystyle -1}$ die erste Chern-Klasse der komplexen Hopf-Faserung ist, ist ${\displaystyle -2}$ die erste Chern-Klasse des Hauptfaserbündels ${\displaystyle \mathbb {R} P^{3}\twoheadrightarrow S^{2}}$.

• SU(2)-Hauptfaserbündel
• Ooguri-Vafa-Metrik, Hyperkähler-Metrik auf den Totalräumen von ${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$-Hauptfaserbündeln

• principal U(1)-bundle auf nLab (englisch)

• Daniel Freed und Karen Uhlenbeck: Instantons and 4-Manifolds. Cambridge University Press, 1991, ISBN 978-1-4613-9705-2 (englisch). 
• Allen Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge University Press, 2001, ISBN 0-521-79160-X (englisch, cornell.edu). 
• Stephen Mitchell: Notes on principal bundles and classifying spaces. 2011; abgerufen im 1. Januar 1. 
• Allen Hatcher: Vector Bundles and K-Theory. November 2017 (englisch, cornell.edu [PDF; 1,6 MB]). 

1. ↑ Freed & Uhlenbeck 1984, S. 29
2. ↑ Mitchell 2001, S. 2
3. ↑ Mitchell 2011, Theorem 7.4
4. ↑ Hatcher 2001, Theorem 4.8.
5. ↑ Hatcher 2001, Example 4.50.
6. ↑ Hatcher 2001, Theorem 4.57.
7. ↑ Hatcher 2017, Proposition 3.10.
8. ↑ ^{a b} Mitchell 2011, Corollary 11.2