Satz von Bendixon

Der Satz von Bendixon ist ein Resultat aus der numerischen Mathematik. Es wurde 1902 von Ivar Bendixon bewiesen.^[1] Der Satz gibt für eine Matrix ${\displaystyle A\in \mathbb {K} ^{n\times n}}$ (${\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}$) ein Gebiet in der komplexen Ebene an, in dem alle Eigenwerte der Matrix liegen. Insbesondere liefert er eine obere und untere Schranke für Real- und Imaginärteil eines Eigenwertes von ${\displaystyle A}$.

Mit dem Wertebereich ${\textstyle {\mathcal {W}}(A)}$ einer Matrix ${\textstyle A\in \mathbb {K} ^{n\times n}}$ bezeichnen wir die Menge aller Rayleigh-Quotienten von ${\displaystyle A}$:

${\displaystyle {\mathcal {W}}(A)=\{{\frac {x^{*}Ax}{x^{*}x}}\;|\;x\in \mathbb {C} ^{n}\setminus \{0\}\}=\{{\frac {x^{*}Ax}{x^{*}x}}\;|\;x\in \mathbb {C} ^{n},\|x\|_{2}=1\}}$

Eigenschaftes des Wertebereichs:

• Alle Eigenwerte von ${\displaystyle A}$ liegen in ${\displaystyle {\mathcal {W}}(A)}$, weil für einen Eigenvektor ${\displaystyle x\neq 0}$ von ${\displaystyle A}$ der Rayleigh-Quotient ${\displaystyle {\frac {x^{*}Ax}{x^{*}x}}}$ der entsprechende Eigenwert ist.
• ${\displaystyle {\mathcal {W}}(A)}$ ist zusammenhängend.
• Für eine hermitesche Matrix ${\displaystyle A}$ ist ${\displaystyle {\mathcal {W}}(A)}$ das reelle Intervall ${\displaystyle [\lambda ,\mu ]}$, wobei ${\displaystyle \lambda }$ der kleinste und ${\displaystyle \mu }$ der größte Eigenwert von ${\displaystyle A}$ ist.
• Für eine schiefhermitesche Matrix ${\displaystyle A}$ ist ${\displaystyle {\mathcal {W}}(A)}$ Teilmenge der imaginären Achse, nämlich die konvexe Hülle der Menge aller Eigenwerte von ${\displaystyle A}$.^[2]

Wir zerlegen die Matrix ${\displaystyle A\in \mathbb {K} ^{n\times n}}$ in einen hermiteschen und einen schiefhermiteschen Summanden:${\displaystyle A={\frac {A+A^{*}}{2}}+{\frac {A-A^{*}}{2}}}$. Dann sind alle Eigenwerte von ${\displaystyle A}$ in dem Rechteck

${\displaystyle {\mathcal {R}}={\mathcal {W}}({\frac {A+A^{*}}{2}})+{\mathcal {W}}({\frac {A-A^{*}}{2}})}$

enthalten.^[2]

Dass ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ ein Rechteck ist folgt daraus, dass ${\displaystyle {\frac {A+A^{*}}{2}}}$ hermitesch und somit ${\displaystyle {\mathcal {W}}({\frac {A+A^{*}}{2}})}$ ein reelles Intervall ist und daraus, dass ${\displaystyle {\frac {A-A^{*}}{2}}}$ schiefhermitesch und somit ${\displaystyle {\mathcal {W}}({\frac {A-A^{*}}{2}})}$ ein rein imaginäres Intervall ist.

Da alle Eigenwerte von ${\displaystyle A}$ in ${\displaystyle {\mathcal {W}}(A)}$ liegen, reicht es zu zeigen, dass ${\displaystyle {\mathcal {W}}(A)\subseteq {\mathcal {R}}}$ gilt. Um das zu zeigen sei ${\displaystyle x\in \mathbb {C} ^{n}}$ mit ${\displaystyle \|x\|_{2}=1}$. Dann gilt:

${\displaystyle {\begin{aligned}x^{*}Ax&=x^{*}\cdot ({\frac {A+A^{*}}{2}}+{\frac {A-A^{*}}{2}})\cdot x\\&=x^{*}\cdot {\frac {A+A^{*}}{2}}\cdot x+x^{*}\cdot {\frac {A-A^{*}}{2}}\cdot x\;\in {\mathcal {W}}({\frac {A+A^{*}}{2}})+{\mathcal {W}}({\frac {A-A^{*}}{2}})\end{aligned}}}$

Damit ist der Beweis vollendet.^[2]

Sei ${\displaystyle A=(a_{ij})}$ reelle Matrix und ${\displaystyle \alpha ={\frac {1}{2}}\max _{1\leq i,j\leq n}|a_{ij}-a_{ji}|}$. Für einen Eigenwert ${\displaystyle \lambda }$ von ${\displaystyle A}$ gilt:

${\displaystyle |\Im (\lambda )|\leq \alpha {\sqrt {n(n-1)}}}$.^[3]

Außerdem sei ${\displaystyle \mu _{0}}$ der kleinste und ${\displaystyle \mu _{n}}$ der größte Eigenwert von ${\displaystyle {\frac {A+A^{*}}{2}}}$. Dann gilt:

${\displaystyle \mu _{0}\leq \Re (\lambda )\leq \mu _{n}}$.^[1]

Diese Abschätzungen ergeben sich leicht aus obigem Satz. Für den Realteil gilt, dass er in ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {W}}({\frac {A+A^{*}}{2}})}$ liegt und damit (nach obigen Bemerkungen zum Wertebereich) zwischen dem kleinsten und größten Eigenwert wie angegeben. Der Imaginärteil liegt in ${\displaystyle \textstyle {\mathcal {W}}({\frac {A-A^{*}}{2}})}$ und ist daher von der Form ${\displaystyle \textstyle \langle ({\frac {A-A^{*}}{2}})x,x\rangle }$ mit einem Vektor ${\displaystyle x}$ der euklidischen Norm ${\displaystyle \|x\|_{2}=1}$. Mit der Cauchy-Schwarzschen Ungleichung ist der Betrag des Imaginärteils also ${\displaystyle \textstyle \leq \|{\frac {A-A^{*}}{2}}\|_{2}}$, wobei ${\displaystyle \|\cdot \|_{2}}$ hier die Hilbert-Schmidt-Norm ist. Da ${\displaystyle \textstyle {\frac {A-A^{*}}{2}}}$ als schiefsymmetrische Matrix auf der Diagonalen nur Nullen hat, kann man das gegen ${\displaystyle \alpha {\sqrt {n(n-1)}}}$ abschätzen.

• Satz von Gerschgorin
• Gerschgorin-Kreise
• Satz von Courant-Fischer
• Numerischer Wertebereich

1. ↑ ^{a b} Ivar Bendixon: Sur les racines d'une équation fondamentale. Hrsg.: Acta Mathematica. 1902, ISSN 0001-5962. 
2. ↑ ^{a b c} Martin Hanke-Bourgeois: Grundlagen der Numerischen Mathematik und des wissenschaftlichen Rechnens. 3. Auflage. Vieweg + Teubner, Mainz 2008, ISBN 978-3-8348-0708-3, S. 207–210. 
3. ↑ Owe Axelsson: Iterative Solution Methods. Hrsg.: Cambridge University Press. 1996, ISBN 978-0-521-55569-2, S. 633.