Ninebrane-Gruppe

Eine Ninebrane-Gruppe (deutsch Neunbranen-Gruppe) ist in den mathematischen Teilgebieten der Algebraischen Topologie und Differentialtopologie eine topologische Gruppe, welche im Whitehead-Turm^[1] einer orthogonalen Gruppe auftaucht, also aus dieser durch Entfernung von Homotopiegruppen von unten entsteht. Die Ninebrane-Gruppe ist darin die 11-zusammenhängende Überlagerung der 7-zusammenhängenden Fivebrane-Gruppe:

${\displaystyle \ldots \rightarrow \operatorname {Ninebrane} (n)\rightarrow \operatorname {Fivebrane} (n)\rightarrow \operatorname {String} (n)\rightarrow \operatorname {Spin} (n)\rightarrow \operatorname {SO} (n)\rightarrow \operatorname {O} (n).}$

Üblicherweise wird die Ninebrane-Gruppe erst ab ${\displaystyle n\geq 13}$ betrachtet, da sich dann die entfernte Homotopiegruppe im Muster der Bott-Periodizität stabilisiert. Ninebrane-Gruppen sind unendlichdimensional und daher insbesondere keine Lie-Gruppen, haben aber durch Kombination mit Höherer Kategorientheorie die Struktur von 10-Gruppen. Zudem ermöglichen Ninebrane-Gruppen eine tangentiale Struktur, welche Ninebrane-Struktur genannt wird. Ihre Benennung stammt von der Verwendung in der M-Theorie, einer gemeinsamen Verallgemeinerung von fünf Stringtheorien, insbesondere bei der Beschreibung von M9-Branen.

Im Whitehead-Turm^[1] eines topologischen Raumes ${\displaystyle X}$ wird die ${\displaystyle n}$-fache Überlagerung auch als ${\displaystyle X\langle n+1\rangle }$ bezeichnet. Mit dieser Notation^[2] sei:

${\displaystyle \operatorname {Ninebrane} (n):=\operatorname {O} (n)\langle 12\rangle }$

${\displaystyle \operatorname {Ninebrane} :=\operatorname {O} \langle 12\rangle =\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {Ninebrane} (n)}$

Da der klassifizierende Raum sämtliche Homotopiegruppen eins hinauf verschiebt^[2][3] ist hier insbesondere:^[4][5]

${\displaystyle \operatorname {BNinebrane} (n)=\operatorname {BO} (n)\langle 13\rangle }$

${\displaystyle \operatorname {BNinebrane} =(\operatorname {BO} )\langle 13\rangle }$

Da ${\displaystyle \pi _{12}\operatorname {O} \cong \pi _{13}\operatorname {O} \cong \pi _{14}\operatorname {O} \cong 1}$ (wegen achtfacher Bott-Periodizität von ${\displaystyle \pi _{4}\operatorname {O} \cong \pi _{5}\operatorname {O} \cong \pi _{6}\operatorname {O} \cong 1}$) ist sogar:^[2]

${\displaystyle \operatorname {Ninebrane} =\operatorname {O} \langle 13\rangle =\operatorname {O} \langle 14\rangle =\operatorname {O} \langle 15\rangle ;}$

${\displaystyle \operatorname {BNinebrane} =(\operatorname {BO} )\langle 14\rangle =(\operatorname {BO} )\langle 15\rangle =(\operatorname {BO} )\langle 16\rangle .}$

• Hisham Sati, Urs Schreiber und Jim Stasheff: Fivebrane Structures. In: Reviews in Mathematical Physics. Band 21, 5. Mai 2008, S. 1197–1240, doi:10.1142/S0129055X09003840, arxiv:0805.0564 (englisch). 
• Hisham Sati: Ninebrane structures. In: International Journal of Geometric Methods in Modern Physics. Band 12, 29. Mai 2014, doi:10.1142/S0219887815500413, arxiv:1405.7686 (englisch). 
• Hisham Sati und Matthew Wheeler: Variations of rational higher tangential structures. In: Journal of Geometry and Physics. Band 130, 21. Dezember 2016, S. 229–248, doi:10.1016/j.geomphys.2018.04.001, arxiv:1612.06983 (englisch). 

• ninebrane group und ninebrane 10-group auf nLab (englisch)

1. ↑ ^{a b} Sati & Wheeler 2018, Example 3.
2. ↑ ^{a b c} Sati & Wheeler 2018, Notation unten auf S. 4.
3. ↑ Schreiber, Sati & Stasheff 2008, Gleichung (40).
4. ↑ Sati 2014, S. 2
5. ↑ Sati & Wheeler 2018, Proposition 5.