Fivebrane-Gruppe

Eine Fivebrane-Gruppe (deutsch Fünfbranen-Gruppe) ist in den mathematischen Teilgebieten der Algebraischen Topologie und Differentialtopologie eine topologische Gruppe, welche im Whitehead-Turm^[1] einer orthogonalen Gruppe auftaucht, also aus dieser durch Entfernung von Homotopiegruppen von unten entsteht. Die Fivebrane-Gruppe ist darin die 7-zusammenhängende Überlagerung der 3-zusammenhängenden String-Gruppe und wird selbst von der 11-zusammenhängenden Ninebrane-Gruppe überlagert:

${\displaystyle \ldots \rightarrow \operatorname {Ninebrane} (n)\rightarrow \operatorname {Fivebrane} (n)\rightarrow \operatorname {String} (n)\rightarrow \operatorname {Spin} (n)\rightarrow \operatorname {SO} (n)\rightarrow \operatorname {O} (n).}$

Üblicherweise wird die Fivebrane-Gruppe erst ab ${\displaystyle n\geq 9}$ betrachtet, da sich dann die entfernte Homotopiegruppe im Muster der Bott-Periodizität stabilisiert. Fivebrane-Gruppen sind unendlichdimensional und daher insbesondere keine Lie-Gruppen, haben aber durch Kombination mit Höherer Kategorientheorie die Struktur von 6-Gruppen. Zudem ermöglichen Fivebrane-Gruppen eine tangentiale Struktur, welche Fivebrane-Struktur genannt wird. Ihre Benennung stammt von der Verwendung in der M-Theorie, einer gemeinsamen Verallgemeinerung von fünf Stringtheorien, insbesondere bei der Beschreibung von M5-Branen.

Im Whitehead-Turm^[1] eines topologischen Raumes ${\displaystyle X}$ wird die ${\displaystyle n}$-fache Überlagerung auch als ${\displaystyle X\langle n+1\rangle }$ bezeichnet. Mit dieser Notation^[2] sei:^[3]

${\displaystyle \operatorname {Fivebrane} (n):=\operatorname {O} (n)\langle 8\rangle }$

${\displaystyle \operatorname {Fivebrane} :=\operatorname {O} \langle 8\rangle =\lim _{n\rightarrow \infty }\operatorname {Fivebrane} (n)}$

Da der klassifizierende Raum sämtliche Homotopiegruppen eins hinauf verschiebt^[2][4] ist hier insbesondere:^[5]

${\displaystyle \operatorname {BFivebrane} (n)=\operatorname {BO} (n)\langle 9\rangle }$

${\displaystyle \operatorname {BFivebrane} =(\operatorname {BO} )\langle 9\rangle }$

Ganz allgemein sind in Whitehead-Türmen sämtliche Abbildungen jeweils Faserbündel mit Eilenberg-MacLane-Räumen als Fasern, nämlich genau für die entfernte Homotopiegruppe in genau einem Grad weniger. Im Fall der Fivebrane-Gruppe und der nächstniedrigeren Gruppe im Whitehead-Turm, nämlich der String-Gruppe, ergeben sich zusätzlich mit Anwendung des klassifizierenden Raumes, welche den Grad des Eilenberg-MacLane-Raumes einen Grad hinauf schiebt, sowie der Komplexifizierung im stabilen Fall die Faserbündel:^[6]

${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,6)\rightarrow \operatorname {Fivebrane} \rightarrow \operatorname {String} ;}$

${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,7)\rightarrow \operatorname {BFivebrane} \rightarrow \operatorname {BString} ;}$

${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,7)\rightarrow (\operatorname {BU} )\langle 10\rangle \rightarrow (\operatorname {BU} )\langle 8\rangle .}$

• Hisham Sati, Urs Schreiber und Jim Stasheff: Fivebrane Structures. In: Reviews in Mathematical Physics. Band 21, 5. Mai 2008, S. 1197–1240, doi:10.1142/S0129055X09003840, arxiv:0805.0564 (englisch). 
• Hisham Sati und Matthew Wheeler: Variations of rational higher tangential structures. In: Journal of Geometry and Physics. Band 130, 21. Dezember 2016, S. 229–248, doi:10.1016/j.geomphys.2018.04.001, arxiv:1612.06983 (englisch). 

• Fivebrane group und fivebrane 6-group auf nLab (englisch)

1. ↑ ^{a b} Sati & Wheeler 2018, Example 3
2. ↑ ^{a b} Sati & Wheeler 2018, Notation unten auf S. 4
3. ↑ Sati, Schreiber & Stasheff 2008, Definition 2.
4. ↑ Schreiber, Sati & Stasheff 2008, Gleichung (40)
5. ↑ Sati & Wheeler 2018, Proposition 5
6. ↑ Sati, Schreiber & Stasheff 2009, Gleichungen (76) und (77)