Whitehead-Vermutung

Die Whitehead-Vermutung ist ein noch offenes Problem im mathematischen Teilgebiet der Algebraischen Topologie. Sie ist benannt nach John Henry Constantine Whitehead, der sie im Jahr 1941 formuliert hat.

Die Whitehead-Vermutung besagt, dass jeder zusammenhängende Unterkomplex eines zweidimensionalen asphärischen CW-Komplexes ebenfalls asphärisch ist. Eine Gruppenpräsentation ${\displaystyle \langle S|R\rangle }$ wird asphärisch genannt, wenn der zugehörige CW-Komplex ${\displaystyle K(\langle S|R\rangle )}$ asphärisch ist oder äquivalent ${\displaystyle \pi _{2}K(\langle S|R\rangle )}$ trivial ist. Dadurch ist die Whitehead-Vermutung äquivalent zur Aussage, dass jede Unterpräsentation einer asphärischen Präsentation selbst asphärisch ist.

Mladen Bestvina und Noel Brady haben im Jahr 1997 eine Gruppe konstruiert, sodass diese entweder ein Gegenbeispiel zur Eilenberg-Ganea-Vermutung ist oder ein Gegenbeispiel zur Whitehead-Vermutung existiert. Beide können daher nicht zugleich wahr sein.

• J. H. C. Whitehead: On adding relations to homotopy groups. In: Annals of Mathematics (= 2nd Ser.). 42. Jahrgang, Nr. 2, 1941, S. 409–428, doi:10.2307/1968907, JSTOR:1968907 (englisch). 
• Mladen Bestvina, Noel Brady: Morse theory and finiteness properties of groups. In: Inventiones Mathematicae. 129. Jahrgang, Nr. 3, 1997, S. 445–470, doi:10.1007/s002220050168, bibcode:1997InMat.129..445B (englisch).