Spin^c-Gruppe

Eine Spinᶜ-Gruppe (oder komplexe Spin-Gruppe) ist im mathematischen Teilgebiet der Spin-Geometrie, wiederum ein Teilgebiet der Differentialgeometrie, eine Lie-Gruppe, welche durch Vertwistung der Spin-Gruppe mit der ersten unitären Gruppe entsteht. Das Symbol C steht dabei für die komplexen Zahlen, welche mit ${\displaystyle \mathbb {C} }$ notiert werden. Eine zentrale Anwendung finden Spinᶜ-Gruppen in der Definition von Spinᶜ-Strukturen, welche zentral für die Seiberg-Witten-Theorie sind.

Die Spin-Gruppe ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$ ist eine doppelte Überlagerung der speziellen orthogonalen Gruppe ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ und entsprechend wirkt ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ auf dieser mit ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)/\mathbb {Z} _{2}\cong \operatorname {SO} (n)}$. Auf der ersten unitären Gruppe ${\displaystyle \operatorname {U} (1)\cong S^{1}\subset \mathbb {C} }$ wirkt ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ebenfalls durch die antipodale Identifikation ${\displaystyle y\sim -y}$. Die Spinᶜ-Gruppe ist nun definiert durch:^[1][2][3][4]

${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(n):=\left(\operatorname {Spin} (n)\times \operatorname {U} (1)\right)/\mathbb {Z} _{2}}$

mit ${\displaystyle (x,y)\sim (-x,-y)}$. Üblich ist auch die Notation ${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathbb {C} }(n)}$. Mit dem exzeptionellen Isomorphismus ${\displaystyle \operatorname {Spin} (2)\cong \operatorname {U} (1)}$ gilt insbesondere ${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(n)=\operatorname {Spin} ^{2}(n)}$ mit:

${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{k}(n):=\left(\operatorname {Spin} (n)\times \operatorname {Spin} (k)\right)/\mathbb {Z} _{2}.}$

• ${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(1)\cong \operatorname {U} (1)\cong \operatorname {SO} (2)}$, induziert vom Isomorphismus ${\displaystyle \operatorname {Spin} (1)\cong \operatorname {O} (1)\cong \mathbb {Z} _{2}}$.
• ${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(3)\cong \operatorname {U} (2)}$,^[5] induziert vom exzeptionellen Isomorphismus ${\displaystyle \operatorname {Spin} (3)\cong \operatorname {Sp} (1)\cong \operatorname {SU} (2)}$. Da außerdem ${\displaystyle \operatorname {Spin} (2)\cong \operatorname {U} (1)\cong \operatorname {SO} (2)}$, ist auch ${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(3)\cong \operatorname {Spin} ^{\mathrm {h} }(2)}$.
• ${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(4)\cong \operatorname {U} (2)\times _{\operatorname {U} (1)}\operatorname {U} (2)}$, induziert vom exzeptionellen Isomorphismus ${\displaystyle \operatorname {Spin} (4)\cong \operatorname {SU} (2)\times \operatorname {SU} (2)}$. Dabei ist die Determinante ${\displaystyle \det \colon \operatorname {U} (2)\rightarrow \operatorname {U} (1)}$ die doppelt im Faserprodukt verwendete Abbildung. Daher besteht ${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(4)}$ aus Paaren von Matrizen aus der zweiten unitären Gruppe ${\displaystyle \operatorname {U} (2)}$ mit gleicher Determinante. In der Physik dienen diese Paare zur Beschreibung der negativen und positiven Chiralität von Spinoren in vier Dimensionen, siehe Spinᶜ-Struktur und Dirac-Gleichung.
• ${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(6)\rightarrow \operatorname {U} (4)}$ ist eine doppelte Überlagerung, induziert vom exeptionellen Isomorphismus ${\displaystyle \operatorname {Spin} (6)\cong \operatorname {SU} (4)}$.

Die Homotopiegruppen der Spinᶜ-Gruppen lassen sich über die lange exakte Sequenz der Homotopiegruppen^[6] des Faserbündels ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\hookrightarrow \operatorname {Spin} (n)\times \operatorname {U} (1)\twoheadrightarrow \operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(n)}$^[7] berechnen und sind gegeben durch:

${\displaystyle \pi _{k}\operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(n)\cong \pi _{k}\operatorname {Spin} (n)\times \pi _{k}\operatorname {U} (1)\cong \pi _{k}\operatorname {SO} (n)}$

für ${\displaystyle k\geq 2}$. Dabei wurde genutzt, dass bei einer Überlagerung wie ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)\twoheadrightarrow \operatorname {SO} (n)}$ die höheren Homotopiegruppen über der Fundamentalgruppe übereinstimmen.

• Spinʰ-Gruppe

• Herbert Blaine Lawson, Jr. und Marie-Louise Michelsohn: Spin geometry. In: Princeton Mathematical Series. Band 38. Princeton University Pres, Princeton 1989, doi:10.1515/9781400883912 (englisch). 
• Christian Bär: Elliptic symbols. In: Mathematische Nachrichten. Band 201, Nr. 1, Januar 1999 (englisch, researchgate.net). 
• Stable complex and Spinᶜ-structures. (englisch, ncatlab.org [PDF]). 
• Liviu I. Nicolaescu: Notes on Seiberg-Witten Theory. (englisch, nd.edu [PDF]). 

1. ↑ Lawson & Michelson 1989, Appendix D, Gleichung (D.1)
2. ↑ Bär 1999, Seite 14
3. ↑ Stable complex and Spinᶜ-structures, Sektion 2.1
4. ↑ Nicolaescu, Seite 30
5. ↑ Nicolaescu, Exercise 1.3.9
6. ↑ Allen Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge University Press, Cambridge 2001, ISBN 978-0-521-79160-1, S. 376, Theorem 4.41 (englisch, cornell.edu). 
7. ↑ Lawson & Michelson 1989, Appendix D, Gleichung (D.2)