Spin^h-Gruppe

Eine Spinʰ-Gruppe (oder quaternionische Spin-Gruppe) ist im mathematischen Teilgebiet der Spin-Geometrie, wiederum ein Teilgebiet der Differentialgeometrie, eine Lie-Gruppe, welche durch Vertwistung der Spin-Gruppe mit der ersten symplektischen Gruppe entsteht. H steht dabei für die Quaternionen, welche mit ${\displaystyle \mathbb {H} }$ notiert werden. Eine zentrale Anwendung finden Spinʰ-Gruppen in der Definition von Spinʰ-Strukturen.

Die Spin-Gruppe ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$ ist eine doppelte Überlagerung der speziellen orthogonalen Gruppe ${\displaystyle \operatorname {SO} (n)}$ und entsprechend wirkt ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ auf dieser mit ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)/\mathbb {Z} _{2}\cong \operatorname {SO} (n)}$. Auf der ersten symplektischen Gruppe ${\displaystyle \operatorname {Sp} (1)\cong S^{3}\subset \mathbb {H} }$ wirkt ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}}$ ebenfalls durch die antipodale Identifikation ${\displaystyle y\sim -y}$. Die Spinʰ-Gruppe ist nun definiert durch:^[1]

${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathrm {h} }(n):=\left(\operatorname {Spin} (n)\times \operatorname {Sp} (1)\right)/\mathbb {Z} _{2}}$

mit ${\displaystyle (x,y)\sim (-x,-y)}$. Üblich ist auch die Notation ${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathbb {H} }(n)}$. Mit dem exzeptionellen Isomorphismus ${\displaystyle \operatorname {Spin} (3)\cong \operatorname {SU} (2)}$ gilt insbesondere ${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathrm {h} }(n)=\operatorname {Spin} ^{3}(n)}$ mit:

${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{k}(n):=\left(\operatorname {Spin} (n)\times \operatorname {Spin} (k)\right)/\mathbb {Z} _{2}.}$

• ${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathrm {h} }(1)\cong \operatorname {Sp} (1)\cong \operatorname {SU} (2)}$, induziert vom Isomorphismus ${\displaystyle \operatorname {Spin} (1)\cong \operatorname {O} (1)\cong \mathbb {Z} _{2}}$.
• ${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathrm {h} }(2)\cong \operatorname {U} (2)}$, induziert vom exzeptionellen Isomorphismus ${\displaystyle \operatorname {Spin} (2)\cong \operatorname {U} (1)\cong \operatorname {SO} (2)}$. Da außerdem ${\displaystyle \operatorname {Spin} (3)\cong \operatorname {Sp} (1)\cong \operatorname {SU} (2)}$, ist auch ${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathrm {h} }(2)\cong \operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(3)}$.

Die Homotopiegruppen der Spinʰ-Gruppen lassen sich über die lange exakte Sequenz der Homotopiegruppen^[2] des Faserbündels ${\displaystyle \mathbb {Z} _{2}\hookrightarrow \operatorname {Spin} (n)\times \operatorname {Sp} (1)\twoheadrightarrow \operatorname {Spin} ^{\mathrm {h} }(n)}$ berechnen und sind gegeben durch:

${\displaystyle \pi _{k}\operatorname {Spin} ^{\mathrm {h} }(n)\cong \pi _{k}\operatorname {Spin} (n)\times \pi _{k}\operatorname {Sp} (1)\cong \pi _{k}\operatorname {SO} (n)\times \pi _{k}(S^{3})}$

für ${\displaystyle k\geq 2}$. Dabei wurde genutzt, dass bei einer Überlagerung wie ${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)\twoheadrightarrow \operatorname {SO} (n)}$ die höheren Homotopiegruppen über der Fundamentalgruppe übereinstimmen.

• Spinᶜ-Gruppe

• Christian Bär: Elliptic symbols. In: Mathematische Nachrichten. Band 201, Nr. 1, Januar 1999 (englisch, researchgate.net). 

1. ↑ Bär 1999, Seite 16
2. ↑ Allen Hatcher: Algebraic Topology. Cambridge University Press, Cambridge 2001, ISBN 978-0-521-79160-1, S. 376, Theorem 4.41 (englisch, cornell.edu).