Satz von Minlos-Sasonow

Der Satz von Minlos-Sasonow ist ein Resultat aus der Maßtheorie in topologischen Vektorräumen. Er liefert eine hinreichende Bedingung damit ein zylindrisches Maß auf einem lokalkonvexen Raum σ-additiv ist. Dies ist der Fall, wenn die Fourier-Transformierte bei Null stetig in der Sazonow-Topologie ist. Eine solche Topologie nennt man in der unendlichdimensionalen Analysis ausreichend. Der Satz ist nach den beiden russischen Stochastikern Robert Adolfowitsch Minlos und Wjatscheslaw Wassiljewitsch Sasonow benannt.^[1]

Der Satz von Minlos-Sasonow ist eine Verallgemeinerung einiger zentraler Resultate, darunter der Satz von Minlos von 1963 und der Satz von Sasonow von 1958. Sazonow bewies, dass ein zylindrisches Maß auf einem separablen Hilbertraum σ-additiv ist, wenn die Fourier-Transformierte stetig in einer bestimmten Topologie ist, welche heute Sazonow-Topologie genannt wird.^[2] 1963 bewies Robert Minlos, dass jede positiv definite Funktion auf einem nuklearen Raum ${\displaystyle E}$ die Fourier-Transformierte eines Radonmaßes auf dem topologischen Dualraum ${\displaystyle E'}$ ist.^[3] Andrei Kolmogorow bemerkte, dass eine Funktion die Fourier-Transformierte eines Radonmaßes ist, wenn sie stetig in der Sazonow-Topologie ist.^[4] In nuklearen Räumen stimmt die Sazonow-Topologie sogar mit der nuklearen Topologie überein. Später verallgemeinerte Albert Badrikian und danach Laurent Schwartz die Sätze dann weiter auf lokalkonvexe Räume.^[5][6] Der Satz wird deshalb auch manchmal als Satz von Minlos-Sasonow-Badrikian bezeichnet.

Sei ${\displaystyle (X,\tau )}$ ein lokalkonvexer Vektorraum, ${\displaystyle X^{*}}$ sei der algebraische und ${\displaystyle X'}$ der topologische Dualraum. Sei ${\displaystyle \langle ,\rangle \colon X\times X'\to \mathbb {R} }$ die duale Paarung. Eine Topologie ${\displaystyle \tau ^{K}}$ auf ${\displaystyle X}$ heißt kompatibel bezüglich der dualen Paarung ${\displaystyle \langle ,\rangle }$, falls der Dualraum von ${\displaystyle X}$ bezüglich der Topologie ${\displaystyle \tau ^{K}}$ auch ${\displaystyle X'}$ ist und somit die duale Paarung übereinstimmt.

Sei ${\displaystyle F\subset X^{*}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {Zyl}}(X,F)}$ sei die zylindrische Algebra, das ist die Algebra

${\displaystyle {\mathcal {Zyl}}(X,F):=\bigcup \limits _{n=1}^{\infty }{\mathfrak {A}}_{f_{1},\dots ,f_{n}}}$

bestehend aus den σ-Algebren ${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{f_{1},\dots ,f_{n}}}$ der Zylindermengen erzeugt durch endliche ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{n}\in F}$.

Ein zylindrisches Maß ${\displaystyle \mu }$ (auch Zylindermengenfunktion genannt) ist eine projektives System von Maßen auf ${\displaystyle {\mathcal {Zyl}}(X,F)}$, das heißt ${\displaystyle \mu }$ ist eine Mengenfunktion, welche σ-additiv auf allen σ-Algebren ${\displaystyle {\mathfrak {A}}_{f_{1},\dots ,f_{n}}}$ ist.^[7][8]

Für ein zylindrisches Maß ${\displaystyle \mu }$ auf ${\displaystyle {\mathcal {Zyl}}(X,F)}$ definiert man die Fourier-Transformiert ${\displaystyle {\hat {\mu }}(f)\colon F\to \mathbb {C} }$ durch

${\displaystyle {\hat {\mu }}(f)=\int _{X}e^{i\langle x,f\rangle }d\mu (x),\quad f\in F.}$

Sei ${\displaystyle p}$ eine Halbnorm auf ${\displaystyle X}$ und betrachte den Quotientenraum ${\displaystyle X_{p}:=X/p^{-1}(0)}$ mit der kanonischen Abbildung ${\displaystyle Q_{p}\colon X\to X_{p}}$ definiert durch ${\displaystyle Q_{p}\colon x\mapsto [x]=x+p^{-1}(0)}$. Nun definiert man eine Norm ${\displaystyle {\overline {p}}}$ auf ${\displaystyle X_{p}}$ durch

${\displaystyle {\overline {p}}(y)=p\left(Q_{p}^{-1}(y)\right)}$ für ${\displaystyle y\in X_{p}}$

und der zugehörige Banachraum ${\displaystyle {\overline {X}}_{p}}$, der durch Vervollständigung unter dieser Norm entsteht. Weiter sei ${\displaystyle i_{p}\colon X_{p}\hookrightarrow {\overline {X}}_{p}}$ die natürliche Einbettung in den Banachraum, dann definiere die Abbildung ${\displaystyle {\overline {Q}}_{p}\colon X\to {\overline {X}}_{p}}$ durch

${\displaystyle {\overline {Q}}_{p}(x):=i_{p}\left(Q_{p}(x)\right),}$

welches eine stetige Funktion ist.

Sei nun ${\displaystyle q}$ eine weitere Halbnorm auf ${\displaystyle X}$, so dass für alle ${\displaystyle x\in X}$ und eine Konstante ${\displaystyle C}$

${\displaystyle p(x)\leq Cq(x)}$

gilt. Seien nun ${\displaystyle {\overline {Q}}_{p}\colon X\to {\overline {X}}_{p}}$ und ${\displaystyle {\overline {Q}}_{q}\colon X\to {\overline {X}}_{q}}$ die oben beschriebenen Abbildungen, dann definiert man einen stetigen linearen Operator ${\displaystyle T_{q,p}\colon {\overline {X}}_{q}\to {\overline {X}}_{p}}$ wie folgt:

• Falls ${\displaystyle z\in i_{q}(X_{q})\subseteq {\overline {X}}_{q}}$, dann ${\displaystyle T_{q,p}(z):={\overline {Q}}_{p}\left({\overline {Q}}_{q}^{-1}(z)\right)}$. Dies ist eine wohldefinierte Abbildung wegen der Beschränktheit von ${\displaystyle p}$ durch ${\displaystyle q}$.
• Falls ${\displaystyle z\not \in i_{q}(X_{q})}$ und ${\displaystyle z\in {\overline {X}}_{q}}$, dann existiert eine Folge ${\displaystyle (z_{n})_{n}\in i_{q}(X_{q})}$ welche gegen ${\displaystyle z}$ konvergiert. Die Folge ${\displaystyle \left(T_{q,p}(z_{n})\right)_{n}}$ konvergiert auch in ${\displaystyle {\overline {X}}_{p}}$ und deshalb definiert man in diesem Fall ${\displaystyle T_{q,p}(z):=\lim \limits _{n\to \infty }\left(T_{q,p}(z_{n})\right)_{n}.}$^[9]

Eine Halbnorm ${\displaystyle p}$ auf ${\displaystyle X}$ nennt man Hilbert-Halbnorm, falls eine positiv-definite Bilinearform ${\displaystyle b\colon X\times X\to \mathbb {R} }$ existiert, so dass

${\displaystyle p(x)={\sqrt {b(x,x)}}}$

für alle ${\displaystyle x\in X}$. Falls ${\displaystyle p}$ eine Hilbert-Halbnorm ist, dann ist ${\displaystyle {\overline {X}}_{p}}$ ein Hilbertraum.

Sei ${\displaystyle (X,\tau )}$ ein lokalkonvexer Vektorraum. Dann definiere eine Familie von stetigen Hilbert-Halbnormen ${\displaystyle {\mathcal {P}}=(p_{j})}$ wie folgt: es gilt ${\displaystyle p\in {\mathcal {P}}}$ genau dann wenn

• eine Hilbert-Halbnorm ${\displaystyle q}$ existiert, so dass ${\displaystyle p(x)\leq Cq(x)}$ für alle ${\displaystyle x\in X}$.
• ${\displaystyle T_{q,p}}$ ein Hilbert-Schmidt-Operator ist.

Die durch die Familien ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ erzeugte Topologie ${\displaystyle \tau ^{S}:=\tau ^{S}(X,\tau )}$ heißt Sazonow-Topologie oder S-Topologie.^[10]

Ein lokalkonvexer Vektorraum ${\displaystyle (X,\tau )}$ ist genau dann ein nuklearer Raum, falls seine Topologie mit der Sazonow-Topologie übereinstimmt ${\displaystyle \tau =\tau ^{S}}$.^[10]

Die Sazonow-Topologie ${\displaystyle \tau ^{S}}$ hängt von der Wahl der Topologie ${\displaystyle \tau }$ ab. Generell gilt ${\displaystyle \tau ^{S}(X,\tau )\neq \tau ^{S}(\tau ^{S}(X,\tau ))}$. Ein lokalkonvexer Raum ausgestattet mit der schwachen Topologie ${\displaystyle (X,\sigma (X,X')}$ ist ein nuklearer Raum und deshalb gilt ${\displaystyle \tau ^{S}((X,\sigma (X,X'))=\sigma (X,X')}$.^[10]

Sei ${\displaystyle \mu }$ ein zylindrisches Maß auf ${\displaystyle {\mathcal {Zyl}}(X,X')}$ und ${\displaystyle \tau }$ eine lokalkonvexe Topologie auf ${\displaystyle X}$, welche kompatibel mit der dualen Paarung ist. Sei nun ${\displaystyle \tau ^{S}}$ die Sazonow-Topologie bezüglich ${\displaystyle \tau }$. Dann ist ${\displaystyle \mu }$ σ-additiv auf ${\displaystyle {\mathcal {Zyl}}(X,X')}$, wenn die Fourier-Transformierte ${\displaystyle {\hat {\mu }}(f)\colon X'\to \mathbb {C} }$ in Null stetig in der Sazonow-Topologie ${\displaystyle \tau ^{S}}$ ist.^[11]

• Oleg Georgievich Smoljanow und Sergei Wassiljewitsch Fomin: Measures on linear topological spaces. In: Russian Mathematical Surveys. Band 31, Nr. 4, 1976, doi:10.1070/RM1976v031n04ABEH001553. 
• Laurent Schwartz: Radon measures on arbitrary topological spaces and cylindrical measures. Hrsg.: Tata Institute of Fundamental Research Studies in Mathematics. Nr. 6, 1973. 
• Wladimir I. Bogatschow und Oleg G. Smoljanow: Topological Vector Spaces and Their Applications. Hrsg.: Springer Cham. 2017, ISBN 978-3-319-57116-4. 

1. ↑ Oleg Georgievich Smoljanow und Sergei Wassiljewitsch Fomin: Measures on linear topological spaces. In: Russian Mathematical Surveys. Band 31, Nr. 4, 1976, doi:10.1070/RM1976v031n04ABEH001553. 
2. ↑ Wjatscheslaw Wassiljewitsch Sasonow: A Remark on Characteristic Functionals. In: Theory Probab. Appl. Band 3, 1958, S. 188–192. 
3. ↑ Robert A. Minlos: Generalized random processes and their extension to a measure. In: American Mathematical Society (Hrsg.): Selected Translations in Mathematical Statistics and Probability. Band 3, 1963, S. 291–313. 
4. ↑ Andrei Kolmogorow: A note on the papers of R. A. Minlos and V. V. Sazonov. In: Teor. Verojant. i Primen. Band 4, Nr. 2, 1959, S. 237–239. 
5. ↑ Albert Badrikian: Séminaire Sur les Fonctions Aléatoires Linéaires et les Mesures Cylindriques. In: Springer (Hrsg.): Lecture Notes in Math. Band 139, 1970. 
6. ↑ Laurent Schwartz: Radon measures on arbitrary topological spaces and cylindrical measures. Hrsg.: Tata Institute of Fundamental Research Studies in Mathematics. Nr. 6, 1973. 
7. ↑ Richard M. Dudley, Jacob Feldman und Lucien Le Cam: On Seminorms and Probabilities, and Abstract Wiener Spaces. In: Princeton University (Hrsg.): Annals of Mathematics. Band 93, Nr. 2, 1971, S. 390–392. 
8. ↑ Laurent Schwartz: Radon measures on arbitrary topological spaces and cylindrical measures. Hrsg.: Tata Institute of Fundamental Research Studies in Mathematics. Nr. 6, 1973. 
9. ↑ Oleg Georgievich Smolyanov und Sergei Wassiljewitsch Fomin: Measures on linear topological spaces. In: Russian Mathematical Surveys. Band 31, Nr. 4, 1976, S. 26–27, doi:10.1070/RM1976v031n04ABEH001553. 
10. ↑ ^{a b c} Oleg Georgievich Smolyanov und Sergei Wassiljewitsch Fomin: Measures on linear topological spaces. In: Russian Mathematical Surveys. Band 31, Nr. 4, 1976, S. 21, doi:10.1070/RM1976v031n04ABEH001553. 
11. ↑ Oleg Georgievich Smolyanov und Sergei Wassiljewitsch Fomin: Measures on linear topological spaces. In: Russian Mathematical Surveys. Band 31, Nr. 4, 1976, S. 27, doi:10.1070/RM1976v031n04ABEH001553.