Sacharow-Schabat-Konstruktion

Die Sacharow-Schabat-Konstruktion ist ein Begriff aus der Theorie der integrablen Systeme und ein allgemeines Verfahren um Lax-Paare zu konstruieren, die ein integrables System erzeugen. Das Verfahren wurde 1974 von Wladimir Jewgenjewitsch Sacharow und Alexei Borissowitsch Schabat eingeführt, um die nichtlineare Schrödinger-Gleichung (NLS) mit Hilfe der Inversen Streutransformation zu lösen.^[1] Das Sacharow-Schabat-System ergibt sich als lineares Spektralproblem, das im Rahmen der Sacharow-Schabat-Konstruktion für die nichtlineare Schrödingergleichung (NLS) eingeführt wurde. Es besteht aus einem Paar linearer Gleichungen mit einem spektralen Parameter, deren Kompatibilitätsbedingung genau die NLS liefert. Dabei werden Matrizen oder Operatoren ${\displaystyle L(\lambda )}$ und ${\displaystyle M(\lambda )}$ konstruiert, welche neben der Zeit auch von einem Spektralparameter ${\displaystyle \lambda }$ abhängen, so dass die Lax-Gleichung

${\displaystyle \partial _{t}L(\lambda )=[M(\lambda ),L(\lambda )]}$

äquivalent zur Bewegungsgleichung eines integrablen Systems ist.^[2]

Eine matrixwertige rationale Funktion ${\displaystyle F(\lambda )=(f_{ij}(\lambda ))_{ij\in 1,\dots ,N}}$ ist eine Matrixfunktion ${\displaystyle F\colon \mathbb {C} \setminus \{\lambda _{1},\dots ,\lambda _{k}\}\to \mathbb {C} ^{N\times N}}$, deren Einträge aus rationalen Funktionen ${\displaystyle f_{ij}(\lambda )}$ von ${\displaystyle \lambda }$ bestehen und die überall bis auf einer endliche Menge von Polstellen ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{k}}$ mit Ordnungen ${\displaystyle n_{1},\dots ,n_{k}}$ definiert ist. Sei angenommen, dass alle Polstellen endlich sind ${\displaystyle \lambda _{i}\neq \infty }$.

Eine matrixwertige rationale Funktion ${\displaystyle F(\lambda )}$ besitzt eine Zerlegung der Form

${\displaystyle F(\lambda )=F_{0}+\sum \limits _{k}F_{k}(\lambda )\qquad {\text{mit}}\qquad F_{k}(\lambda )=\sum \limits _{r=-n_{k}}^{-1}F_{k,r}(\lambda -\lambda _{k})^{r}}$

wobei ${\displaystyle F_{0}}$ eine konstante Matrix und ${\displaystyle f_{k}(\lambda )}$ der Polteil von ${\displaystyle \lambda _{k}}$ ist. Wir können die Zerlegung auch an nur einer Polstelle ${\displaystyle \lambda _{k}}$ machen, sei hierfür ${\displaystyle F(\lambda )_{-}:=F_{k}}$ und zerlege dann

${\displaystyle F(\lambda )=F(\lambda )_{+}+F(\lambda )_{-}\qquad {\text{mit}}\qquad F(\lambda )_{+}=\sum \limits _{r=0}^{\infty }F_{k,r}(\lambda -\lambda _{k})^{r}.}$

wobei ${\displaystyle F(\lambda )_{+}}$ der reguläre Teil und ${\displaystyle F(\lambda )_{-}}$ der Polteil ist.^[2]

Betrachte nun zwei ${\displaystyle N\times N}$-Matrizen ${\displaystyle L(\lambda )}$ und ${\displaystyle M(\lambda )}$, welche matrixwertige rationale Funktionen von ${\displaystyle \lambda }$ sind. Seien ${\displaystyle \lambda _{1},\dots \lambda _{k}}$ die gemeinsamen Polstellen von ${\displaystyle L(\lambda )}$ und ${\displaystyle M(\lambda )}$, dann können wir nun zerlegen

${\displaystyle L(\lambda )=L_{0}+\sum \limits _{k}L_{k}(\lambda )\quad {\text{mit }}\quad L_{k}(\lambda )=\sum \limits _{r=-n_{k}}^{-1}L_{k,r}(\lambda -\lambda _{k})^{r},}$

${\displaystyle M(\lambda )=M_{0}+\sum \limits _{k}M_{k}(\lambda )\quad {\text{mit }}\quad M_{k}(\lambda )=\sum \limits _{r=-m_{k}}^{-1}M_{k,r}(\lambda -\lambda _{k})^{r},}$

wobei ${\displaystyle n_{k}}$ respektive ${\displaystyle m_{k}}$ die Ordnung der Polstelle ${\displaystyle \lambda _{k}}$ ist. Betrachte nun die Lax-Gleichung

${\displaystyle \partial _{t}L(\lambda )=[M(\lambda ),L(\lambda )]}$^[2]

dann sieht man, dass ${\displaystyle \lambda _{k}}$ auf der linken Seite a priori von der Ordnung ${\displaystyle n_{k}}$ und auf der rechten Seite höchstens ${\displaystyle n_{k}+m_{k}}$ ist, dies führt zu zwei Gleichungen:

• Gleichungen ohne Zeitableitung ${\displaystyle \partial _{t}L_{t}}$, welche entstehen, wenn man die Koeffizienten der Pole höherer Ordnung ${\displaystyle n_{k}}$ auf der rechten Seite der Lax-Gleichung gleich Null setzt,
• Gleichungen mit Zeitableitung ${\displaystyle \partial _{t}L_{t}}$, welche entstehen, wenn man die Koeffizienten der Pole der Ordnung kleiner oder gleich ${\displaystyle n_{k}}$ auf beiden Seiten der Lax-Gleichung gleichsetzt.

Wir nehmen nun an, dass ${\displaystyle L(\lambda )}$ in einer Nachbarschaft von ${\displaystyle \lambda _{k}}$ eindeutige Eigenwerte hat, damit man eine reguläre Ähnlichkeitstransformation ${\displaystyle g_{k}(\lambda )}$ von ${\displaystyle L(\lambda )}$ durchführen kann, die ${\displaystyle L(\lambda )}$ in dieser Nachbarschaft diagonalisiert. Es gilt somit

${\displaystyle L(\lambda )=g_{k}(\lambda )A_{k}(\lambda )g_{k}^{-1}(\lambda ),\qquad M(\lambda )=g_{k}(\lambda )B_{k}(\lambda )g_{k}^{-1}(\lambda )}$

wobei ${\displaystyle A_{k}(\lambda )}$ eine Diagonalmatrix ist, die an der Stelle ${\displaystyle \lambda _{k}}$ einen Pol der Ordnung ${\displaystyle n_{k}}$ hat, und ${\displaystyle B_{k}(\lambda )}$ wegen der Lax-Gleichung ebenfalls eine Diagonalmatrix ist, die an der Stelle ${\displaystyle \lambda _{k}}$ einen Pol der Ordnung ${\displaystyle m_{k}}$ hat. Die Zerlegung lautet dann

${\displaystyle L(\lambda )=L_{0}+\sum _{k}L_{k}(\lambda )\quad {\text{mit }}L_{k}(\lambda )={\big (}g_{k}(\lambda )A_{k}(\lambda )g_{k}^{-1}(\lambda ){\big )}_{-},}$

${\displaystyle M(\lambda )=M_{0}+\sum _{k}M_{k}(\lambda )\quad {\text{mit }}M_{k}(\lambda )={\big (}g_{k}(\lambda )B_{k}(\lambda )g_{k}^{-1}(\lambda ){\big )}_{-}.}$

Man sieht nun, dass nur die singulären Teile von ${\displaystyle A_{k}(\lambda )}$ und ${\displaystyle B_{k}(\lambda )}$ zu ${\displaystyle L_{k}(\lambda )}$ und ${\displaystyle M_{k}(\lambda )}$ beitragen. Die unabhängigen Parameter von ${\displaystyle L_{k}(\lambda )}$ sind deshalb: ${\displaystyle L_{0}}$, die singulären Diagonalmatrizen

${\displaystyle {\big (}A_{k}(\lambda ){\big )}_{-}=\sum \limits _{r=-n_{k}}^{-1}A_{k,r}(\lambda -\lambda _{k})^{r}}$

und Jets von regulären Matrizen

${\displaystyle {\hat {g}}_{k}=\sum \limits _{r=0}^{n_{k}-1}g_{k,r}(\lambda -\lambda _{k})^{r}}$

der Ordnung ${\displaystyle n_{k}-1}$ definiert bis zur Rechtsmultiplikation mit einer regulären Diagonalmatrix ${\displaystyle d_{k}(\lambda )}$.^[2]

Aus dieser Information lässt sich nun die Lax-Matrizen ${\displaystyle L(\lambda )}$ und ${\displaystyle M(\lambda )}$ rekonstruieren

${\displaystyle L(\lambda )=L_{0}+\sum _{k}L_{k}(\lambda )\quad {\text{mit }}L_{k}(\lambda ):={\big (}{\hat {g}}_{k}(\lambda )A_{k}(\lambda ){\hat {g}}_{k}^{-1}(\lambda ){\big )}_{-}.}$

Dann kann man ${\displaystyle L(\lambda )=g_{k}(\lambda )A_{k}(\lambda )g_{k}^{-1}(\lambda )}$ um jedes ${\displaystyle \lambda _{k}}$ diagonalisieren. Dies gibt eine Vervollständigung der Matrizen ${\displaystyle {\big (}A_{k}(\lambda ){\big )}_{-}}$ und ${\displaystyle {\hat {g}}_{k}}$ zu vollständigen Reihen ${\displaystyle A_{k}}$ und ${\displaystyle g_{k}}$ in ${\displaystyle (\lambda -\lambda _{k})}$.

Analog rekonstruiert man

${\displaystyle M(\lambda )=M_{0}+\sum _{k}M_{k}(\lambda )\quad {\text{mit }}M_{k}(\lambda ):={\big (}{\hat {g}}_{k}(\lambda )B_{k}(\lambda ){\hat {g}}_{k}^{-1}(\lambda ){\big )}_{-},}$

Allgemein gilt, wenn man ${\displaystyle L(\lambda )}$ hat, dann ist ${\displaystyle M(\lambda )}$ von der Form

${\displaystyle M(\lambda )=M_{0}+\sum \limits _{k}{\big (}P^{(k)}(L,\lambda ){\big )}_{-}}$

wobei ${\displaystyle P^{(k)}(L,\lambda )}$ ein Polynom in ${\displaystyle L(\lambda )}$ mit rationalen Koeffizienten in ${\displaystyle \lambda }$ ist und ${\displaystyle {\big (}\cdot {\big )}_{-}}$ den singulären Teil bei ${\displaystyle \lambda =\lambda _{k}}$ ist. Dies garantiert, dass die Ordnung der Pole in der Lax-Gleichung übereinstimmen.^[2]

Die nichtlinearen Schrödingergleichung (NLS) lautet

${\displaystyle iq_{t}+q_{xx}+2|q|^{2}q=0,}$

wobei ${\displaystyle q(x,t)}$ die komplexwertige Wellenfunktion und ${\displaystyle {\overline {q(x,t)}}}$ die komplexe Konjugation ist. Die NLS lässt sich als Kompatibilitätsbedingung eines linearen Systems schreiben, dem sogenannten Sacharow-Schabat-System

${\displaystyle {\begin{cases}f_{x}&=-i\lambda f+q(x,t)g\\g_{x}&=i\lambda g-{\overline {q(x,t)}}f\end{cases}},}$

wobei ${\displaystyle (f,g)^{T}}$ ein Vektor ist und ${\displaystyle \lambda }$ der Spektralparameter.

Ein zugehöriges Lax-Paar ist durch ${\displaystyle 2\times 2}$-Matrizen ${\displaystyle L(\lambda )}$ und ${\displaystyle M(\lambda )}$ gegeben mit

${\displaystyle L(\lambda )={\begin{pmatrix}-i\lambda &q(x,t)\\-{\overline {q(x,t)}}&i\lambda \end{pmatrix}},\qquad M(\lambda )={\begin{pmatrix}-2i\lambda ^{2}-i|q|^{2}&-2\lambda q+iq_{x}\\-2\lambda {\overline {q}}+i{\overline {q}}_{x}&2i\lambda ^{2}+i|q|^{2}\end{pmatrix}}.}$

Die Lax-Gleichung

${\displaystyle \partial _{t}L(\lambda )=[M(\lambda ),L(\lambda )]}$

ist in diesem Fall äquivalent zur nichtlinearen Schrödingergleichung.

• Olivier Babelon, Denis Bernard und Michel Talon: Introduction to Classical Integrable Systems. Hrsg.: Cambridge University Press. Vereinigtes Königreich 2003, S. 35–39. 
• Wladimir Jewgenjewitsch Sacharow und Alexei Borissowitsch Schabat: A scheme for integrating the nonlinear equations of mathematical physics by the method of the inverse scattering problem. In: Functional Analysis and Its Applications. Band 8, 1974, S. 226–235, doi:10.1007/BF01075696. 
• Wladimir Jewgenjewitsch Sacharow und Alexei Borissowitsch Schabat: Integration of nonlinear equations of mathematical physics by the method of inverse scattering. II. In: Functional Analysis and Its Applications. Band 13, 1979, S. 166–174, doi:10.1007/BF01077483. 

1. ↑ Wladimir Jewgenjewitsch Sacharow und Alexei Borissowitsch Schabat: A scheme for integrating the nonlinear equations of mathematical physics by the method of the inverse scattering problem. In: Functional Analysis and Its Applications. Band 8, 1974, S. 226–235, doi:10.1007/BF01075696. 
2. ↑ ^{a b c d e} Olivier Babelon, Denis Bernard und Michel Talon: Introduction to Classical Integrable Systems. Hrsg.: Cambridge University Press. Vereinigtes Königreich 2003, S. 35–39.