Lax-Paar

Ein Lax-Paar bezeichnet in der Mathematik zwei Matrizen oder Operatoren ${\displaystyle L(t)}$ und ${\displaystyle M(t)}$, die von einem Zeitparameter abhängen ${\displaystyle t}$ und die Lax-Gleichung

${\displaystyle L_{t}=[M,L]}$

erfüllen, wobei ${\displaystyle L_{t}={\frac {\partial L}{\partial t}}}$ die partielle Ableitung nach ${\displaystyle t}$ und ${\displaystyle [M,L]=ML-LM}$ den Kommutator bezeichnet. Sie sind nach Peter Lax benannt, der sie 1968 im Studium der Korteweg-de-Vries-Gleichung formalisierte.^[1]

Lax-Paare sind ein nützliches Werkzeug zum Ermitteln der Erhaltungsgrößen einiger dynamischer Systeme. Die Lax-Gleichung stellt sicher, dass die Eigenwerte (Spektrum) des Operator ${\displaystyle L}$ unabhängig von der Zeit sind. Diese Eigenschaft wird als Isospektralität bezeichnet.

Lax-Paare spielen eine zentrale Rolle in der Theorie der integrablen Systeme und werden für die Inverse Streutransformation benötigt. Die Sacharow-Schabat-Konstruktion ist eine Methode um Lax-Paare zu konstruieren.

1968 führte Peter Lax eine Methode ein, die eine integrierbare nichtlineare partielle Differentialgleichung zu einer gegebenen linearen gewöhnlichen Differentialgleichung liefert. Die Grundidee ist wie folgt:^[1]

Gegeben sei ein linearer Differentialoperator ${\displaystyle L}$, der im Spektralproblem

${\displaystyle L\psi =\lambda \psi }$

auftaucht. Man sucht einen Operator ${\displaystyle M}$, so dass gilt

(i) Der Spektralparameter ${\displaystyle \lambda }$ ändert sich nicht mit der Zeit, d. h. ${\displaystyle {\frac {\partial \lambda }{\partial t}}=0}$.

(ii) ${\displaystyle \psi _{t}-M\psi }$ bleibt eine Lösung desselben linearen Problems ${\displaystyle L\psi =\lambda \psi }$.

(iii) ${\displaystyle L_{t}+LM-ML}$ ist ein Multiplikationsoperator, d. h. kein Differentialoperator.

Aus Bedingung (ii) folgt:

${\displaystyle L(\psi _{t}-M\psi )=\lambda (\psi _{t}-M\psi ),}$

und mithilfe von ${\displaystyle L\psi =\lambda \psi }$ und ${\displaystyle \lambda _{t}=0}$ erhält man

${\displaystyle L\psi _{t}-LM\psi =\lambda \psi _{t}-M(\lambda \psi )=\partial _{t}(\lambda \psi )-ML\psi =\partial _{t}(L\psi )-ML\psi =L_{t}\psi +L\psi _{t}-ML\psi ,}$

wobei ${\displaystyle \partial _{t}}$ den partiellen Differentialoperator nach ${\displaystyle t}$ bezeichnet. Nach Kürzen des Terms ${\displaystyle L\psi _{t}}$ auf beiden Seiten erhält man:

${\displaystyle (L_{t}+LM-ML)\psi =0.}$

Da ${\displaystyle L_{t}+LM-ML}$ ein Multiplikationsoperator ist, folgt

${\displaystyle L_{t}+LM-ML=0,}$

also die klassische Lax-Gleichung ${\displaystyle L_{t}=[M,L]}$.

• Goriely, Alain. Integrability and Nonintegrability of Dynamical Systems. Singapur, World Scientific, 2001.

1. ↑ ^{a b} Peter Lax: Integrals of nonlinear equations of evolutions. In: Comm. Pure Appl. Math. Band 21, 1968, S. 467–490.