Kantenkugel

Die Kantenkugel ist eine Kugel, die alle Kanten des gegebenen Polyeders berührt. In der Raumgeometrie ist sie neben der Inkugel die Entsprechung zum Inkreis eines Polygons in der ebenen Geometrie.

Der Mittelpunkt einer Kantenkugel muss von allen Kanten gleichen Abstand haben. Nur spezielle Polyeder haben eine Kantenkugel, darunter die fünf platonischen Körper, die archimedischen Körper, uniforme Prismen und uniforme Antiprismen.

Während das regelmäßige Tetraeder neben Umkugel und Inkugel auch eine Kantenkugel besitzt, trifft das nicht für beliebige Tetraeder zu. Die Kantenkugel eines Tetraeders existiert genau dann, wenn eine der folgenden äquivalenten Bedingungen erfüllt ist:^[1]

• Die Inkreise der Seitendreiecke berühren sich paarweise.
• Es gibt vier Kugeln um die Ecken des Tetraeders, die sich paarweise berühren.
• Die Längensummen der drei Gegenkantenpaare sind gleich.

• Inkugel
• Umkugel

• Venndigramm zur Beschreibung von Um-, In- und Kantenkugeln bei Polyedern

1. ↑ Rudolf Fritsch: Kantenkugeln - geometrische Anwendungen der linearen Algebra. In: Mathematische Semesterberichte. Band XXXII, 1984, S. 88 (uni-muenchen.de [PDF; abgerufen am 1. Juli 2025]).