Jacobische Zetafunktion

Die Jacobische Zetafunktion, auch Zeta Amplitudinis genannt, ist in der Mathematik die logarithmische Ableitung der Jacobischen Theta-Funktion. Benannt ist sie nach dem deutschen Mathematiker Carl Gustav Jacob Jacobi.

Das Zeta Amplitudinis ist auf folgende Weise als Ableitung^[1][2] vom Logarithmus Naturalis der Thetafunktion ϑ₀₁ definiert:

${\displaystyle {\text{zn}}(u;k)=\mathrm {Z} [{\text{am}}(u;k);k]={\frac {\partial }{\partial u}}\ln {\bigl \{}\vartheta _{01}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\pi K(k)^{-1}u;q(k){\bigr ]}{\bigr \}}={\frac {\pi }{2K(k)}}{\frac {\vartheta '_{01}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\pi K(k)^{-1}u;q(k){\bigr ]}}{\vartheta _{01}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\pi K(k)^{-1}u;q(k){\bigr ]}}}}$

Also ist die große Zetafunktion so definiert:

${\displaystyle \mathrm {Z} (t;k)={\text{zn}}[F(t;k);k]}$

Dabei ist die genannte Thetafunktion nach Whittaker und Watson^[3] durch diese Produktreihe definiert:

${\displaystyle \vartheta _{01}(x;y)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-y^{2n})[1-2\cos(2x)y^{2n-1}+y^{4n-2}]}$

Die Theta-Strich-Funktion ist die Ableitung der Thetafunktion bezüglich des linken Klammereintrags:

${\displaystyle \vartheta '_{01}(x;y)={\frac {\partial }{\partial x}}\vartheta _{01}(x;y)}$

Der Buchstabe K nennt das vollständige elliptische Integral erster Art:

${\displaystyle K(k)=2\int _{0}^{1}{\frac {1}{\sqrt {(x^{2}+1)^{2}-4k^{2}x^{2}}}}\,\,\mathrm {d} x}$

Die Bezeichnung q(k) stellt das elliptische Nomen dar:

${\displaystyle q(k)=\exp[-\pi K({\sqrt {1-k^{2}}})K(k)^{-1}]}$

Analog zur genannten Formel kann diese Zetafunktion auch mit dem Derivat ϑ₀₀ der klassischen Thetafunktion definiert werden:

${\displaystyle {\text{zn}}(u;k)={\frac {\pi }{2K(k)}}{\frac {\vartheta '_{00}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\pi K(k)^{-1}u;q(k){\bigr ]}}{\vartheta _{00}{\bigl [}{\tfrac {1}{2}}\pi K(k)^{-1}u;q(k){\bigr ]}}}+k^{2}{\text{sn}}(u;k){\text{cd}}(u;k)}$

Für das Derivat der klassischen Thetafunktion gilt nach Whittaker und Watson:

${\displaystyle \vartheta _{00}(x;y)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-y^{2n})[1+2\cos(2x)y^{2n-1}+y^{4n-2}]}$

Analog zur zuvor genannten Bezeichnung ist dieser Zusammenhang gültig:

${\displaystyle \vartheta '_{00}(x;y)={\frac {\partial }{\partial x}}\vartheta _{00}(x;y)}$

Im englischen Sprachraum etablierte sich für diese Funktion der Name „Elliptic Theta Prime“ als offizielle Bezeichnung.

Wegen der Definition der Thetafunktion ϑ₀₁ als Produktreihe kann die Jacobische Zetafunktion auch als unendliche Summenreihe definiert werden.

Denn der Logarithmus aus dem Produkt ist gleich der Summe der Logarithmen:

${\displaystyle {\text{zn}}(u;k)={\frac {\partial }{\partial u}}\sum _{n=1}^{\infty }\ln {\bigl \langle }{\bigl [}1-q(k)^{2n}{\bigr ]}{\bigl \{}1-2\cos[\pi K(k)^{-1}u]q(k)^{2n-1}+q(k)^{4n-2}{\bigr \}}{\bigr \rangle }}$

${\displaystyle {\text{zn}}(u;k)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {2\pi K(k)^{-1}\sin[\pi K(k)^{-1}u]q(k)^{2n-1}}{1-2\cos[\pi K(k)^{-1}u]q(k)^{2n-1}+q(k)^{4n-2}}}}$

${\displaystyle {\text{zn}}(u;k)={\frac {\pi }{K(k)}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\sin[\pi K(k)^{-1}u]}{\cosh[(2n-1)\pi K({\sqrt {1-k^{2}}})K(k)^{-1}]-\cos[\pi K(k)^{-1}u]}}}$

Mit dem Kürzel sn wird der Sinus Amplitudinis genannt:

${\displaystyle {\text{sn}}(u;k)=\sin[{\text{am}}(u;k)]}$

Und das Kürzel cd steht für den Quotienten des Cosinus Amplitudinis dividiert durch das Delta Amplitudinis:

${\displaystyle {\text{cd}}(u;k)={\text{sn}}[K(k)-u;k]={\frac {\cos[{\text{am}}(u;k)]}{\sqrt {1-k^{2}\sin[{\text{am}}(u;k)]^{2}}}}}$

Mit der Bezeichnung am wird die Jacobi-Amplitude zum Ausdruck gebracht:

${\displaystyle {\text{am}}(u;k)=\int _{0}^{1}{\text{dn}}(uv;k)u\,\,\mathrm {d} v}$

Das Kürzel dn beschreibt das Delta Amplitudinis:

${\displaystyle {\text{dn}}(u;k)={\sqrt[{4}]{1-k^{2}}}\vartheta _{00}[{\tfrac {1}{2}}\pi K(k)^{-1}u;q(k)]\vartheta _{01}[{\tfrac {1}{2}}\pi K(k)^{-1}u;q(k)]^{-1}}$

Die Ableitung der Jacobischen Zetafunktion ist als Kombination des Delta Amplitudinis und der vollständigen Elliptischen Integrale darstellbar:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial u}}{\text{zn}}(u;k)={\text{dn}}(u;k)^{2}-{\frac {E(k)}{K(k)}}}$

Die Jacobische Zetafunktion selbst ist die Ursprungsstammfunktion der nun genannten Funktion bezüglich u.

Somit kann sie mit Hilfe elliptischer Integrale durch die Jacobi-Amplitude definiert werden:

${\displaystyle {\text{zn}}(u;k)=E[{\text{am}}(u;k);k]-{\frac {E(k)}{K(k)}}u}$

Somit gilt für die große Jacobische Zetafunktion:

${\displaystyle \mathrm {Z} (u;k)=E(u;k)-{\frac {E(k)}{K(k)}}F(u;k)}$

Dabei ist E(x;k) ein unvollständiges elliptisches Integral zweiter Art und E(k) = E(π/2;k) ein vollständiges elliptisches Integral zweiter Art.^[1]

Es gelten folgende Formeln:

${\displaystyle E(x;k)=\int _{0}^{1}x{\sqrt {1-k^{2}\sin(xy)^{2}}}\,\,\mathrm {d} y}$

${\displaystyle E(k)=2\int _{0}^{1}{\frac {\sqrt {(x^{2}+1)^{2}-4k^{2}x^{2}}}{(x^{2}+1)^{2}}}\,\,\mathrm {d} x}$

Eng verwandt ist die Jacobische Zetafunktion mit der Jacobischen Epsilonfunktion. Denn die Epsilonfunktion ist so^[4] definiert:

${\displaystyle \varepsilon (u;k)=E[{\text{am}}(u;k);k]}$

Somit gilt:

${\displaystyle {\text{zn}}(u;k)=\varepsilon (u;k)-{\frac {E(k)}{K(k)}}u}$

Die Jacobische Epsilonfunktion hat dieses Additionstheorem:

${\displaystyle \varepsilon (a+b;k)=\varepsilon (a;k)+\varepsilon (b;k)-k^{2}{\text{sn}}(a;k){\text{sn}}(b;k){\text{sn}}(a+b;k)}$

Das Additionstheorem vom Sinus Amplitudinis lautet wie folgt:

${\displaystyle {\text{sn}}(a+b;k)={\frac {{\text{sn}}(a;k){\text{cd}}(b;k)+{\text{cd}}(a;k){\text{sn}}(b;k)}{1+k^{2}{\text{sn}}(a;k){\text{cd}}(a;k){\text{sn}}(b;k){\text{cd}}(b;k)}}}$

Die Funktionen sn und cd vom selben Wertepaar stehen in jener Beziehung zueinander:

${\displaystyle {\text{sn}}(u;k)^{2}+{\text{cd}}(u;k)^{2}-k^{2}{\text{sn}}(u;k)^{2}{\text{cd}}(u;k)^{2}=1}$

Basierend auf dem genannten Additionstheorem für die Jacobische Epsilonfunktion gilt somit auch folgende Beziehung:

${\displaystyle \varepsilon [u+2K(k);k]=\varepsilon (u;k)+2E(k)}$

Analog zu diesem Additionstheorem gilt das Additionstheorem für die Jacobische Zetafunktion:

${\displaystyle {\text{zn}}(a+b;k)={\text{zn}}(a;k)+{\text{zn}}(b;k)-k^{2}{\text{sn}}(a;k){\text{sn}}(b;k){\text{sn}}(a+b;k)}$

Dieses zuletzt genannte Additionstheorem ist auch im von Irene Stegun und Milton Abramowitz erstellten Werk Handbuch der mathematischen Funktionen^[5] auf der Seite 595 an der Stelle der Formelnummer 17.4.35 behandelt. Wegen der Richtigkeit dieses Theorems gilt auch:

${\displaystyle {\text{zn}}[K(k)-u;k]+{\text{zn}}(u;k)=k^{2}{\text{sn}}(u;k){\text{cd}}(u;k)}$

Aus diesem Grund können auch die Jacobi-Funktionen sn, cn und dn mit der Zetafunktion zn definiert werden.

So kann bei der Jacobischen Zetafunktion die Modultransformation durchgeführt werden:

${\displaystyle {\text{zn}}(u;k)=(1+{\sqrt {1-k^{2}}}){\text{zn}}[{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})u;k^{2}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-2}]+k^{2}{\text{sd}}({\tfrac {1}{2}}u;k){\text{cn}}({\tfrac {1}{2}}u;k){\text{cn}}(u;k)}$

Die Bezeichnung sd markiert den Quotienten Sinus Amplitudinis durch Delta Amplitudinis. Beispielsweise gilt:

${\displaystyle {\text{zn}}(u;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}({\sqrt {2}}+1){\text{zn}}[{\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2}}({\sqrt {2}}+1)u;({\sqrt {2}}-1)^{2}]+{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}{\text{sl}}({\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2}}u){\text{cl}}({\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2}}u){\text{cl}}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}u)}$

Hierbei stellen sl und cl die Lemniskatischen Funktionen Sinus Lemniscatus und Cosinus Lemniscatus dar.

Durch zusätzliche Modultransformation kann die Formel so formuliert werden:

${\displaystyle {\text{zn}}(u;k)=(1+{\sqrt {1-k^{2}}}){\text{zn}}[{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})u;k^{2}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-2}]+k^{2}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-1}{\text{sn}}[{\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})u;k^{2}(1+{\sqrt {1-k^{2}}})^{-2}]{\text{cn}}(u;k)}$

Aus diesen Formeln für die Modultransformation folgen die für positive und negative rechte Klammereinträge gültigen Ableitungen der Thetafunktionen.

Diese partiellen Ableitungen nach dem linken Klammereintrag lauten wie folgt:

${\displaystyle \vartheta _{01}'(v;w)={\frac {\partial }{\partial v}}\vartheta _{01}(v;w)={\bigl [}\vartheta _{00}(w)^{2}+\vartheta _{01}(w)^{2}{\bigr ]}\vartheta _{01}(v;w){\text{zn}}{\biggl \{}{\frac {v}{2}}{\bigl [}\vartheta _{00}(w)^{2}+\vartheta _{01}(w)^{2}{\bigr ]};{\frac {\vartheta _{00}(w)^{2}-\vartheta _{01}(w)^{2}}{\vartheta _{00}(w)^{2}+\vartheta _{01}(w)^{2}}}{\biggr \}}+}$

${\displaystyle +{\frac {1}{2}}\vartheta _{00}(w)\vartheta _{01}(w)^{2}\vartheta _{01}({\tfrac {1}{4}}\pi ;w)^{2}{\frac {\vartheta _{01}({\tfrac {1}{4}}\pi +v;w)^{2}-\vartheta _{01}({\tfrac {1}{4}}\pi -v;w)^{2}}{\vartheta _{00}({\tfrac {1}{2}}v;w)^{2}\vartheta _{01}({\tfrac {1}{2}}v;w)^{2}}}}$

${\displaystyle \vartheta _{00}'(v;w)={\frac {\partial }{\partial v}}\vartheta _{00}(v;w)={\bigl [}\vartheta _{00}(w)^{2}+\vartheta _{01}(w)^{2}{\bigr ]}\vartheta _{00}(v;w){\text{zn}}{\biggl \{}{\frac {v}{2}}{\bigl [}\vartheta _{00}(w)^{2}+\vartheta _{01}(w)^{2}{\bigr ]};{\frac {\vartheta _{00}(w)^{2}-\vartheta _{01}(w)^{2}}{\vartheta _{00}(w)^{2}+\vartheta _{01}(w)^{2}}}{\biggr \}}-}$

${\displaystyle -{\frac {1}{2}}\vartheta _{01}(w)\vartheta _{00}(w)^{2}\vartheta _{00}({\tfrac {1}{4}}\pi ;w)^{2}{\frac {\vartheta _{00}({\tfrac {1}{4}}\pi -v;w)^{2}-\vartheta _{00}({\tfrac {1}{4}}\pi +v;w)^{2}}{\vartheta _{00}({\tfrac {1}{2}}v;w)^{2}\vartheta _{01}({\tfrac {1}{2}}v;w)^{2}}}}$

Wenn der elliptische Modul k den Wert 0 annimmt, dann ist die gesamte Funktion gleich Null.

Wenn der Modul den Wert 1 annimmt, dann ist die zn-Funktion gleich dem Tangens Hyperbolicus:

${\displaystyle {\text{zn}}(u;1)=\tanh(u)}$

Jedoch gilt:

${\displaystyle \lim _{k\rightarrow 1}{\text{zn}}[K(k)-u;k]=0\neq \tanh[K(1)]}$

Wenn der Modul den Wert 1/sqrt(2) annimmt, dann ist die zn-Funktion lemniskatisch beschaffen:

${\displaystyle {\text{zn}}(u;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})=E[{\text{am}}(u;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}});{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}]-{\tfrac {1}{2}}(\pi \varpi ^{-2}+1)u}$

Denn für die Ableitung gilt:

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} u}}{\text{zn}}(u;{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}})={\tfrac {1}{2}}{\text{cl}}({\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}u)^{2}-{\tfrac {1}{2}}\pi \varpi ^{-2}}$

Mit dem Symbol ϖ wird die Lemniskatische Konstante dargestellt.

• Christian Houzel Elliptische Funktionen und Abelsche Integrale, in Jean Dieudonné (Hrsg.) Geschichte der Mathematik 1700-1900, Vieweg 1985, S. 462 (Kapitel 7.1.10)
• Leo Koenigsberger Zur Geschichte der Elliptischen Transcendenten in den Jahren 1826 bis 1829, Teubner 1879, S. 78, gutenberg
• Sir Edmund Taylor Whittaker und Professor George Neville Watson: A Course in Modern Analysis. 4. Auflage. Cambridge, England, 1990. pp. 469 – 470

• Zeta-Funktion
• Thetafunktion
• Jacobische elliptische Funktion

• Eric W. Weisstein: Jacobi Zeta Function. In: MathWorld (englisch).

1. ↑ ^{a b} Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), "Kapitel 16", Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, p. 578, ISBN 978-0486612720, MR 0167642.
2. ↑ Gradshteyn, I. S. and Ryzhik, I. M. Tables of Integrals, Series, and Products, 6th ed. San Diego, CA: Academic Press, 2000, p. xxxiv.
3. ↑ Eric W. Weisstein: Jacobi Theta Functions. Abgerufen am 7. September 2021 (englisch). 
4. ↑ DLMF: 22.16 Related Functions. Abgerufen am 8. September 2021. 
5. ↑ https://personal.math.ubc.ca/~cbm/aands/abramowitz_and_stegun.pdf