Gaußscher Wahrscheinlichkeitsraum

Ein gaußscher Wahrscheinlichkeitsraum ist in der Stochastik und insbesondere im Malliavin-Kalkül ein Wahrscheinlichkeitsraum zusammen mit einem Hilbert-Raum zentrierter, reeller gaußscher Zufallsvariablen, welcher gaußscher Hilbert-Raum (oder gaußscher Raum) genannt wird. Wichtige Beispiele gaußscher Wahrscheinlichkeitsräume sind die abstrakten Wiener-Räume.

Die Terminologie ist in der Literatur nicht immer einheitlich, generell versteht man unter dem Begriff gaußscher Raum einen abgeschlossenen Unterraum des L²-Raumes, dessen Elemente zentrierte Gauß-Variablen sind. Manche Autoren bezeichnen aber auch allgemein Räume mit einem gaußschen Maß als gaußsche Räume. Wir folgen der Monographie (^[1]) von Paul Malliavin.

Ein gaußscher Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P,{\mathcal {H}},{\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}^{\perp })}$ besteht aus

• einem (vollständigen) Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ,
• einem abgeschlossenen Unterraum ${\displaystyle {\mathcal {H}}\subset L^{2}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$, so dass alle ${\displaystyle X\in {\mathcal {H}}}$ zentrierte Gauß-Variablen sind, d. h. es gilt ${\displaystyle X\sim {\mathcal {N}}(0,\sigma ^{2})}$. Die σ-Algebra der Elemente in ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ notieren wir mit ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}}$.
• einer σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}^{\perp }}$ der transversalen Zufallvariablen, welche durch die Beziehung

${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}\otimes {\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}^{\perp }}$

definiert wird.^[2]

Ein gaußscher Wahrscheinlichkeitsraum heißt irreduzibel, wenn ${\displaystyle {\mathcal {F}}={\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}}$ gilt. Irreduzible gaußsche Wahrscheinlichkeitsräume werden mit ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P,{\mathcal {H}})}$ notiert. Der Begriff der nicht-irreduziblen gaußschen Wahrscheinlichkeitsräume wird aus zwei Gründen definiert:

1. Um auf Unterräumen arbeiten zu können.
2. Um den Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ erweitern zu können.

Ansonsten wählt man in der Regel einen irreduziblen gaußschen Wahrscheinlichkeitsraum.^[2]

Ein Unterraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P,{\mathcal {H}}_{1},{\mathcal {A}}_{{\mathcal {H}}_{1}}^{\perp })}$ eines gaußschen Wahrscheinlichkeitsraumes ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P,{\mathcal {H}},{\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}^{\perp })}$ besteht aus

• einem abgeschlossenen Unterraum ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}\subset {\mathcal {H}}}$ von ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$,
• einer Teil-σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{{\mathcal {H}}_{1}}^{\perp }\subset {\mathcal {F}}}$ der transversalen Zufallvariablen, so dass ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{{\mathcal {H}}_{1}}^{\perp }}$ und ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{{\mathcal {H}}_{1}}}$ unabhängig sind und eine neue Produkt-σ-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}={\mathcal {A}}_{{\mathcal {H}}_{1}}\otimes {\mathcal {A}}_{{\mathcal {H}}_{1}}^{\perp }}$ bilden. Des Weiteren soll gelten ${\displaystyle {\mathcal {A}}\cap {\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}^{\perp }={\mathcal {A}}_{{\mathcal {H}}_{1}}^{\perp }}$.^[2]

Beispiel:

Sei ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P,{\mathcal {H}},{\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}^{\perp })}$ gaußscher Wahrscheinlichkeitsraum mit abgeschlossenem ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}\subset {\mathcal {H}}}$. Sei nun ${\displaystyle V}$ das orthogonale Komplement von ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}}$ in ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$. Orthogonalität impliziert Unabhängigkeit zwischen ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}}$, also ist ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{V}}$ unabhängig von ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{{\mathcal {H}}_{1}}}$. Definiere nun ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{{\mathcal {H}}_{1}}^{\perp }}$ durch ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{{\mathcal {H}}_{1}}^{\perp }:=\sigma ({\mathcal {A}}_{V},{\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}^{\perp })={\mathcal {A}}_{V}\vee {\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}^{\perp }}$.

Bemerke, für ${\displaystyle G=L^{2}(\Omega ,{\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}^{\perp },P)}$ gilt ${\displaystyle L^{2}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)=L^{2}((\Omega ,{\mathcal {F}}_{\mathcal {H}},P);G)}$.

Zu einem gaußschen Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P,{\mathcal {H}},{\mathcal {F}}_{\mathcal {H}}^{\perp })}$ definieren wir die Algebra der zylindrischen Zufallsvariablen der Form

${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathcal {H}}=\{F=P(X_{1},\dots ,X_{n}):X_{i}\in {\mathcal {H}}\}}$

wobei ${\displaystyle P}$ ein Polynom in ${\displaystyle n}$ Variablen ist und nennen ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathcal {H}}}$ die Fundamentalalgebra. Es gilt ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathcal {H}}\subset L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ für ${\displaystyle p<\infty }$.

Für einen irreduziblen gaußschen Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P,{\mathcal {H}})}$ gilt, dass ${\displaystyle \mathbb {A} _{\mathcal {H}}}$ eine dichte Menge in ${\displaystyle L^{p}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ für alle ${\displaystyle p\in [1,\infty [}$ ist.^[3]

Ein irreduzibler gaußscher Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P,{\mathcal {H}})}$ mit einer gewählten Basis für ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ nennt man numerisches Modell. Zwei numerische Modelle sind isomorph, wenn ihre gaußschen Räume die gleiche Dimension haben.^[4]

Gegeben ist ein separabler Hilbert-Raum ${\displaystyle G}$, dann existiert immer ein kanonischer irreduzibler gaußscher Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle \operatorname {Seg} (G)=(\Omega ,{\mathcal {F}},P,G)}$ namens Segal-Modell mit ${\displaystyle G}$ als gaußscher Raum. In diesem Fall notiert man die zu ${\displaystyle g\in G}$ assoziierte gaußsche Zufallsvariable als ${\displaystyle W(g)}$ und schreibt entsprechend den gaußschen Raum als ${\displaystyle {\mathcal {G}}=\{W(g)\colon g\in G\}}$, das heißt ${\displaystyle \operatorname {Seg} (G)=(\Omega ,{\mathcal {F}},P,{\mathcal {G}})}$. Diese Notation ist analog zu dem isonormalen Gauß-Prozess.^[5]

• Sei ${\displaystyle C_{0}[0,1]=\{\omega :\omega {\text{ ist stetig auf }}[0,1],\omega (0)=0\}}$ der klassische Wiener-Raum, ${\displaystyle {\mathcal {B}}(C_{0})=\sigma (W_{s},0\leq s\leq 1)}$ die σ-Algebra der Koordinaten-Abbildungen ${\displaystyle W_{s}:\omega \mapsto \omega (s)}$ (oder äquivalent die borelsche σ-Algebra von ${\displaystyle C_{0}[0,1]}$) und ${\displaystyle \mu }$ das Wiener-Maß. Weiter sei ${\displaystyle H=L^{2}(0,1)}$ und ${\displaystyle {\mathcal {H}}=\{W_{h},h\in H\}}$ die Familie der Wiener-Integrale definiert durch

${\displaystyle W_{h}(\omega )=\int _{0}^{1}h(t)d\omega (t).}$

Dann ist ${\displaystyle (C_{0}[0,1],{\mathcal {B}}(C_{0}),\mu ,{\mathcal {H}})}$ ein irreduzibler gaußscher Wahrscheinlichkeitsraum.^[6]

• Sei ${\displaystyle (X,H,\mu )}$ ein abstrakter Wiener-Raum, d. h. ${\displaystyle X}$ ist ein separabler Banach-Raum und ${\displaystyle H}$ separabler Hilbert-Raum, der stetig und dicht in ${\displaystyle X}$ eingebettet ist, ${\displaystyle \mu }$ ein zentriertes gaußsches Maß und ${\displaystyle {\mathcal {H}}=\{W_{l}(x):=\langle l,x\rangle ,l\in X^{*}\}}$. Dann ist ${\displaystyle (X,{\mathcal {B}}(X),\mu ,{\mathcal {H}})}$ ein irreduzibler gaußscher Wahrscheinlichkeitsraum.^[6]

1. ↑ Paul Malliavin: Stochastic analysis. Hrsg.: Springer. Berlin, Heidelberg 1997, ISBN 3-540-57024-1, doi:10.1007/978-3-642-15074-6. 
2. ↑ ^{a b c} Paul Malliavin: Stochastic analysis. Hrsg.: Springer Berlin, Heidelberg. 1997, ISBN 3-540-57024-1, S. 4–5, doi:10.1007/978-3-642-15074-6. 
3. ↑ Paul Malliavin: Stochastic analysis. Hrsg.: Springer Berlin, Heidelberg. 1997, ISBN 3-540-57024-1, S. 13–14, doi:10.1007/978-3-642-15074-6. 
4. ↑ Paul Malliavin: Stochastic analysis. Hrsg.: Springer Berlin, Heidelberg. 1997, ISBN 3-540-57024-1, S. 14, doi:10.1007/978-3-642-15074-6. 
5. ↑ Paul Malliavin: Stochastic analysis. Hrsg.: Springer Berlin, Heidelberg. 1997, ISBN 3-540-57024-1, S. 16, doi:10.1007/978-3-642-15074-6. 
6. ↑ ^{a b} Zhi-yuan Huang und Jia-an Yan: Introduction to Infinite Dimensional Stochastic Analysis. Hrsg.: Springer Netherlands. Niederlande 2000, S. 60.