Isonormaler Gauß-Prozess

Ein isonormaler Gauß-Prozess ist ein Gauß-Prozess assoziiert zu einem separablen Hilbertraum ${\displaystyle H}$, der auch eine lineare Isometrie ist. Der wichtige Spezialfall, wenn der Hilbertraum ein L²-Raum über einem σ-endlichen Maßraum ist, nennt man weißes Rauschen. Der Begriff wurde 1954 von Irving Segal eingeführt.^[1]

Sei ${\displaystyle (H,\langle ,\rangle _{H})}$ ein separabler Hilbertraum über ${\displaystyle \mathbb {R} }$. Ein isonormaler Gauß-Prozess auf ${\displaystyle H}$ ist ein stochastischer Prozess

${\displaystyle W=\{W(h),h\in H\},}$

definiert auf einem gemeinsamen vollständigen Wahrscheinlichkeitsraum ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mathbb {P} )}$, so dass ${\displaystyle W}$ eine Familie von zentrierten reellen gaußschen Zufallsvariablen ist und

${\displaystyle \mathbb {E} [W(h)W(g)]=\langle h,g\rangle _{H}}$

für alle ${\displaystyle h,g\in H}$ gilt.^[2]

Aus der Definition folgt, dass die Abbildung ${\displaystyle W\colon h\mapsto W(h)}$ eine lineare Isometrie

${\displaystyle W\colon H\to {\mathcal {H_{1}}}\subset L^{2}(\Omega ,{\mathcal {A}},P;\mathbb {R} )}$

in einen Unterraum von ${\displaystyle L^{2}}$ ist, denn für ${\displaystyle \lambda ,\mu \in \mathbb {R} }$ und ${\displaystyle h,g\in H}$ gilt

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {E} \left[\left(W(\lambda h+\mu g)-\lambda W(h)-\mu W(g)\right)^{2}\right]&=\|\lambda h+\mu g\|_{H}^{2}+\lambda ^{2}\|h\|_{H}^{2}+\mu ^{2}\|g\|_{H}^{2}\\&-2\lambda \langle \lambda h+\mu g,h\rangle _{H}-2\mu \langle \lambda h+\mu g,g\rangle _{H}+2\lambda \mu \langle h,g\rangle _{H}\\&=0.\end{aligned}}}$

Somit ${\displaystyle P}$-fast sicher ${\displaystyle W(\lambda h+\mu g)=\lambda W(h)+\mu W(g)}$. Aus der Linearität folgt auch sofort, dass ${\displaystyle W}$ wirklich ein Gauß-Prozess ist. Der Raum ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{1}}$ ist der Raum der zentrierten gaußschen Zufallsvariablen und stimmt zu gleich mit dem ersten hermiteschen Wiener-Chaos überein.

Fixiere eine Orthonormalbasis ${\displaystyle h_{0},h_{1},\dots \in H}$ und betrachte ${\displaystyle \xi _{0},\xi _{1},\dots }$ iid und ${\displaystyle \xi _{i}\sim {\mathcal {N}}(0,1),\forall i}$.

Für ein beliebiges ${\displaystyle h=\sum _{j}b_{j}h_{j}\in H}$ definiere ${\displaystyle W(h):=\sum _{j}b_{j}\xi _{j}}$, wobei die Reihe fast sicher und in ${\displaystyle L^{2}(\mathbb {P} )}$ konvergiert, da ${\displaystyle \sum _{j}b_{j}^{2}<\infty .}$ Sei nun ${\displaystyle W(g):=\sum _{j}a_{j}\xi _{j}}$, dann gilt

${\displaystyle \mathbb {E} [W(h)W(g)]=\sum \limits _{i,j}a_{i}b_{j}\mathbb {E} [\xi _{j}\xi _{i}]=\sum \limits _{i}a_{i}b_{i}=\langle h,g\rangle }$.^[3]

Sei ${\displaystyle H:=L^{2}(T,{\mathcal {B}},\mu )}$, wobei ${\displaystyle (T,{\mathcal {B}})}$ ein messbarer Raum mit σ-endlichem und atomlosen Maß ${\displaystyle \mu }$. Dann definieren wir den Prozess

${\displaystyle W:=\{W(A),A\in {\mathcal {B}},\mu (A)<\infty \}}$

durch

${\displaystyle W(A):=W(1_{A}).}$

Wir betrachten dadurch ein Gaußsches Maß ${\displaystyle W\colon (T,{\mathcal {B}})\to L^{2}(\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$, so dass

${\displaystyle W(A)\sim {\mathcal {N}}(0,\mu (A))}$

falls ${\displaystyle \mu (A)<\infty }$. ${\displaystyle W}$ nennt man Weißes Rauschen basierend auf ${\displaystyle \mu }$ und ist ein isonormaler Gauß-Prozess.

Ist ${\displaystyle T=\mathbb {R} _{\geq 0}^{d}}$ und ${\displaystyle \mu }$ das Lebesgue-Maß, dann ist ${\displaystyle B_{t}:=W([0,t)^{d})}$ das ${\displaystyle d}$-parametrige brownsche Blatt, ein weiterer isonormaler Gauß-Prozess.

Analog für ${\displaystyle H=L^{2}(T,{\mathcal {B}},\mu ;\mathbb {R} ^{n})}$ mit ${\displaystyle T:=R_{\geq 0}^{d}}$ und Lebesgue-Maß ${\displaystyle \mu }$ definiert

${\displaystyle B_{t}^{(n)}:=W([0,t)^{d}\otimes e_{n}),\quad t\geq 0}$

das ${\displaystyle (d,n)}$-Brownsche Blatt ${\displaystyle B_{t}=(B_{t}^{(1)},\dots ,B_{t}^{(n)})}$ mit Kovarianz

${\displaystyle \mathbb {E} [B_{t}^{(n)}B_{s}^{(m)}]=\mathbb {E} [W([0,t)^{d}\otimes e_{n})W([0,s)^{d}\otimes e_{m})]=\langle 1_{[0,t)^{d}}\otimes e_{n},1_{[0,s)^{d}}\otimes e_{m}\rangle =\prod _{i=1}^{d}\delta _{n,m}(t\wedge s),}$

für die Stetigkeit lässt sich der Satz von Kolmogorow-Tschenzow verwenden. Sei nun ${\displaystyle d=1}$, dann ist das Wiener-Itô-Integral bezüglich ${\displaystyle W}$

${\displaystyle W(h)=\sum \limits _{k=1}^{n}\int _{T}h^{k}(s)\;dB_{s}^{(k)},}$

und somit ein isonormaler Gauß-Prozess ${\displaystyle W=\{W(h):h\in L^{2}(T,\mathbb {R} ^{n})\}}$.

1. ↑ I. E. Segal: Abstract probability spaces and a theorem of Kolmogorov. In: American Journal of Mathematics. Band 76, 1954, S. 721–73. 
2. ↑ David Nualart: The Malliavin Calculus and Related Topics. Hrsg.: Springer Berlin, Heidelberg. 2006, S. 4, doi:10.1007/3-540-28329-3. 
3. ↑ Olav Kallenberg: Foundations of Modern Probability. Hrsg.: Springer. 2021, S. 300, doi:10.1007/978-3-030-61871-1.