Bewertungsspektrum

Das Bewertungsspektrum eines kommutativen Ringes ist ein topologischer Raum, dessen Punkte durch Äquivalenzklassen von Bewertungen gegeben sind. Es findet Anwendung in der Theorie adischer Räume.

Sei ${\displaystyle A}$ ein kommutativer Ring. Das Bewertungsspektrum ${\displaystyle \mathrm {Spv} (A)}$ von ${\displaystyle A}$ ist die Menge aller Äquivalenzklassen von nicht-archimedischen Bewertungen von ${\displaystyle A}$. Die Topologie auf ${\displaystyle \mathrm {Spv} (A)}$ wird von Mengen der Form

${\displaystyle \mathrm {Spv} (A)({\tfrac {f}{s}})=\{|\cdot |\in \mathrm {Spv} (A)\mid |f|\leq |s|\neq 0\}}$

erzeugt, wobei ${\displaystyle f,s\in A}$ beliebige Elemente sind.^[1]

• Der Körper ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ der rationalen Zahlen hat die folgenden Äquivalenzklassen von nicht-archimedischen Bewertungen: Für jede Primzahl ${\displaystyle p}$ die p-adische Bewertung ${\displaystyle |\cdot |_{p}}$ und die sogenannte triviale Bewertung ${\displaystyle |\cdot |_{0}}$, die durch ${\displaystyle |x|_{0}=1}$ für alle ${\displaystyle x\in \mathbb {Q} ^{\times }}$ gegeben ist. Eine nicht-leere Teilmenge von ${\displaystyle \mathrm {Spv} (\mathbb {Q} )}$ ist genau dann offen, wenn sie Komplement endlich vieler p-adischer Bewertungen ist. Wir haben einen Homöomorphismus ${\displaystyle \mathrm {Spv} (\mathbb {Q} )=\mathrm {Spec} (\mathbb {Z} )}$.^[2]
• Der Ring ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ der ganzen Zahlen besitzt alle Einschränkungen von Bewertungen von ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ als Bewertung. Zusätzlich gibt es für jede Primzahl ${\displaystyle p}$ eine Bewertung ${\displaystyle |\cdot |_{p,0}}$, die von der trivialen Bewertung auf dem endlichen Körper ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}=\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} }$ induziert wird. Wir erhalten also als Menge ${\displaystyle \mathrm {Spv} (\mathbb {Z} )=\mathrm {Spv} (\mathbb {Q} )\cup \{|\cdot |_{p,0}\mid p{\text{ Primzahl}}\}}$. Jede offene Menge, die ${\displaystyle |\cdot |_{p,0}}$ enthält, enthält auch ${\displaystyle |\cdot |_{p}}$. Die Bewertung ${\displaystyle |\cdot |_{p,0}}$ ist also eine Spezialisierung von ${\displaystyle |\cdot |_{p}}$. Die abgeschlossenen Punkte von ${\displaystyle \mathrm {Spv} (\mathbb {Z} )}$ sind genau die Bewertungen ${\displaystyle |\cdot |_{p,0}}$.^[3]

Das Bewertungsspektrum eines kommutativen Ringes ist ein spektraler Raum.^[4]

Ist ${\displaystyle \varphi \colon A\to B}$ ein Ringhomomorphismus und ${\displaystyle |\cdot |}$ eine Bewertung von ${\displaystyle B}$, so ist ${\displaystyle \mathrm {Spv} (\varphi )(|\cdot |):=|\cdot |\circ \varphi }$ eine Bewertung von ${\displaystyle A}$. Für ${\displaystyle f,s\in A}$ gilt

${\displaystyle \mathrm {Spv} (\varphi )^{-1}(\mathrm {Spv} (A)({\tfrac {f}{s}}))=\mathrm {Spv} (B)({\tfrac {\varphi (f)}{\varphi (s)}})}$

Die Abbildung ${\displaystyle \mathrm {Spv} (\varphi )\colon \mathrm {Spv} (B)\to \mathrm {Spv} (A)}$ ist also stetig^[5] und sogar spektral^[6].

• Wedhorn: Adic spaces

1. ↑ Wedhorn: Def. 4.1
2. ↑ Wedhorn: Ex. 4.2 (1)
3. ↑ Wedhorn: Ex. 4.2 (2)
4. ↑ Wedhorn: Prop. 4.7 (1)
5. ↑ Wedhorn: Rem. 4.3
6. ↑ Wedhorn: Prop. 4.7 (2)