Adischer Raum

Ein adischer Raum ist in der algebraischen Geometrie eine Verallgemeinerung von formalen Schemata und rigid-analytischen Räumen. Adische Räume wurden 1993 von Roland Huber eingeführt.^[1] Seit 2012 rückten adische Räume durch die Entwicklung perfektoider Räume von Peter Scholze ins Zentrum aktueller Forschung.^[2]

Wir fassen zuerst die umfangreiche Definition von adischen Räumen in Einzelschritten zusammen. Sie läuft im Wesentlichen analog zur Definition von Schemata.

• Die Grundbausteine von adischen Räumen sind durch Huber-Paare gegeben. Das sind bestimmte Paare topologischer Ringe ${\displaystyle (A,A^{+})}$, wobei ${\displaystyle A^{+}\subseteq A}$ ein mit der Teilraumtopologie ausgestatteter Teilring ist.
• Jedem Huber-Paar ${\displaystyle (A,A^{+})}$ wird ein adisches Spektrum ${\displaystyle \mathrm {Spa} (A,A^{+})=(X,{\mathcal {O}}_{X},(v_{x})_{x\in X})}$ zugeordnet. Es besteht aus einem topologischen Raum ${\displaystyle X}$, einer Prägarbe topologischer Ringe ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$, deren Halme lokale Ringe sind, und einer Familie ${\displaystyle (v_{x})_{x\in X}}$ von Äquivalenzklassen von Bewertungen auf ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$.
• Wir definieren eine Kategorie von Tripeln ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X},(v_{x})_{x\in X})}$, die wir mit ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ bezeichnen. In diesem Kontext definieren wir Einschränkung auf offene Teilmengen von ${\displaystyle X}$.
• Ein adischer Raum ist schließlich ein Objekt aus ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$, das eine Überdeckung durch adische Spektren hat.

Eine nicht-archimedische Bewertung ${\displaystyle v}$ eines topologischen Ringes ${\displaystyle A}$ mit Bewertungsgruppe ${\displaystyle \Gamma }$ ist stetig, wenn für alle ${\displaystyle \gamma \in \Gamma }$ die Teilmenge ${\displaystyle \{a\in A\mid v(a)<\gamma \}}$ offen in ${\displaystyle A}$ ist.^[3]

Ein Huber-Paar ist ein Paar ${\displaystyle (A,A^{+})}$, wobei ${\displaystyle A}$ ein topologischer Ring und ${\displaystyle A^{+}\subseteq A}$ ein Teilring ist, sodass die folgenden Eigenschaften erfüllt sind:

• ${\displaystyle A}$ ist ein Huber-Ring.
• ${\displaystyle A^{+}}$ ist offen in ${\displaystyle A}$.
• ${\displaystyle A^{+}}$ ist ganzabgeschlossen in ${\displaystyle A}$.
• Jedes Element von ${\displaystyle A^{+}}$ ist potenzbeschränkt (in ${\displaystyle A}$).

Sei ${\displaystyle A}$ ein Huber-Ring. Wir definieren nun eine Art von topologischer Lokalisierung von ${\displaystyle A}$, mithilfe derer später eine Strukturprägarbe definiert werden kann.

Sei dazu ${\displaystyle s\in A}$ und sei ${\displaystyle T=\{t_{1},\dots ,t_{n}\}}$, sodass ${\displaystyle T\cdot A:=\{t_{1}a_{1}+\dots +t_{n}a_{n}\mid a_{1},\dots ,a_{n}\in A\}}$ offen in ${\displaystyle A}$ ist.

Auf der algebraischen Lokalisierung ${\displaystyle A_{s}:=A[s^{-1}]}$ definieren wir eine Topologie wie folgt.

Sei ${\displaystyle (A_{0},I)}$ ein Definitionspaar für ${\displaystyle A}$. Definiere einen Teilring

${\displaystyle D:=A_{0}[{\tfrac {t_{1}}{s}},\dots ,{\tfrac {t_{n}}{s}}]\subseteq A_{s}}$

Die Familie ${\displaystyle (I^{n}\cdot D)_{n\geq 0}}$ definiert eine Topologie auf ${\displaystyle A_{s}}$. Der resultierende topologische Ring werde mit ${\displaystyle A({\tfrac {T}{s}})}$ bezeichnet. Die Vervollständigung von ${\displaystyle A({\tfrac {T}{s}})}$ werde mit ${\displaystyle A\langle {\tfrac {T}{s}}\rangle }$ notiert.

Sei nun ${\displaystyle (A,A^{+})}$ ein Huber-Paar. Wir bezeichnen mit ${\displaystyle A({\tfrac {T}{s}})^{+}}$ den ganzen Abschluss von ${\displaystyle A^{+}[{\tfrac {t_{1}}{s}},\dots ,{\tfrac {t_{n}}{s}}]}$ in ${\displaystyle A_{s}}$ ausgestattet mit der Teilraumtopologie von ${\displaystyle A({\tfrac {T}{s}})}$. Wir bezeichnen die Vervollständigung von ${\displaystyle A({\tfrac {T}{s}})^{+}}$ mit ${\displaystyle A\langle {\tfrac {T}{s}}\rangle ^{+}}$. Das Paar ${\displaystyle (A\langle {\tfrac {T}{s}}\rangle ,A\langle {\tfrac {T}{s}}\rangle ^{+})}$ ist wieder ein Huber-Paar und wird auch Vervollständigung von ${\displaystyle (A({\tfrac {T}{s}}),A({\tfrac {T}{s}})^{+})}$ genannt.

Sei ${\displaystyle (A,A^{+})}$ ein Huber-Paar.

Wir definieren eine Menge

${\displaystyle X:=\{v\in \mathrm {Cont} (A)\mid \forall f\in A^{+}:v(f)\leq 1\}}$

wobei ${\displaystyle \mathrm {Cont} (A)}$ die Menge der stetigen Bewertungen von ${\displaystyle A}$ ist.^[4]

Für ${\displaystyle s\in A}$ und eine endliche Teilmenge ${\displaystyle T\subset A}$, sodass ${\displaystyle T\cdot A}$ offen ist, sei

${\displaystyle R({\tfrac {T}{s}}):=\{v\in X\mid \forall t\in T:v(t)\leq v(s)\neq 0\}}$

die zugehörige rationale Teilmenge.^[5] Von den rationalen Teilmengen werde eine Topologie auf ${\displaystyle X}$ erzeugt.

Durch

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(R({\tfrac {T}{s}})):=A\langle {\tfrac {T}{s}}\rangle }$

ist eine Prägarbe vollständiger topologischer Ringe auf den rationalen Teilmengen von ${\displaystyle X}$ definiert.^[6]

Für eine beliebige offene Teilmenge ${\displaystyle V\subseteq X}$ definieren wir

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(V):=\lim \limits _{U\subseteq V}{\mathcal {O}}_{X}(U)}$

Hierbei durchläuft ${\displaystyle U}$ alle rationalen Teilmengen von ${\displaystyle V}$ und der Limes werde mit der Limes-Topologie ausgestattet. Das definiert eine Prägarbe ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ vollständiger topologischer Ringe auf ${\displaystyle X}$.

Jede Bewertung ${\displaystyle x\colon A\to \Gamma _{x}\cup \{0\}}$ mit ${\displaystyle x\in X}$ lässt sich auf eindeutige Weise auf die abstrakte Lokalisierung ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$ zu einer Bewertung ${\displaystyle v_{x}\colon {\mathcal {O}}_{X,x}\to \Gamma _{x}\cup \{0\}}$ fortsetzen.

Das adische Spektrum von ${\displaystyle (A,A^{+})}$ ist das Tripel ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X},(v_{x})_{x\in X})}$ und wird mit ${\displaystyle \mathrm {Spa} (A,A^{+})}$ bezeichnet.

Ist ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ eine Garbe topologischer Ringe, so nennen wir ${\displaystyle (A,A^{+})}$ garbig.

Die Kategorie adischer Räume wird als volle Unterkategorie einer Kategorie ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ definiert.

Die Objekte von ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$ sind Tripel ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X},(v_{x})_{x\in X})}$, sodass folgendes gilt:^[7]

• ${\displaystyle X}$ ist ein topologischer Raum.
• ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ist eine Garbe vollständiger topologischer Ringe auf ${\displaystyle X}$.
• Für alle ${\displaystyle x\in X}$ ist der Halm ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$ von ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ in ${\displaystyle x}$ ein lokaler Ring.
• Für alle ${\displaystyle x\in X}$ ist ${\displaystyle v_{x}}$ ist eine Äquivalenzklasse von Bewertungen von ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$, sodass der Träger ${\displaystyle \mathrm {supp} (v_{x})}$ das maximale Ideal von ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$ ist.

Ein Morphismus ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X},(v_{x})_{x\in X})\to (Y,{\mathcal {O}}_{Y},(v_{y})_{y\in Y})}$ ist ein Paar ${\displaystyle (f,f^{\sharp })}$, sodass:

• ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ ist eine stetige Abbildung.
• ${\displaystyle f^{\sharp }\colon {\mathcal {O}}_{Y}\to f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}$ ist ein Morphismus von Prägarben topologischer Ringe. Das bedeutet, dass für alle offenen Teilmengen ${\displaystyle U\subseteq Y}$ der Ringhomomorphismus ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y}(U)\to {\mathcal {O}}_{X}(f^{-1}(U))}$ stetig ist.
• Für alle ${\displaystyle x\in X}$ gilt ${\displaystyle v_{f(x)}=v_{x}\circ f_{x}^{\flat }}$ für den von ${\displaystyle f^{\flat }\colon f^{-1}{\mathcal {O}}_{Y}\to {\mathcal {O}}_{X}}$ induzierten Ringhomomorphismus ${\displaystyle f_{x}^{\flat }\colon {\mathcal {O}}_{Y,f(x)}\to {\mathcal {O}}_{X,x}}$. Beachte, dass die Gleichheit sinnvoll ist, da ${\displaystyle v_{x}\circ f_{x}^{\flat }}$ eine eindeutige Äquivalenzklasse von Bewertungen auf ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Y,f(x)}}$ bezeichnet.

Aus der letzten Bedingung folgt, dass ${\displaystyle f_{x}^{\flat }}$ ein lokaler Homomorphismus ist.

Die Verkettung zweier Morphismen ${\displaystyle (g,g^{\sharp })}$ und ${\displaystyle (f,f^{\sharp })}$ ist durch ${\displaystyle (g\circ f,g_{*}f^{\sharp }\circ g^{\sharp })}$ gegeben.

Sei ${\displaystyle U\subseteq X}$ eine offene Teilmenge. Dann definieren wir die Einschränkung ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X},(v_{x})_{x\in X})|_{U}}$ durch ${\displaystyle (U,{\mathcal {O}}_{X}|_{U},(v_{x})_{x\in U})}$.

Ein affinoider adischer Raum ist ein Objekt von ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$, das isomorph zu ${\displaystyle \mathrm {Spa} (A,A^{+})}$ für ein garbiges Huber-Paar ${\displaystyle (A,A^{+})}$ ist.^[8]

Ein adischer Raum ist ein Objekt ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X},(v_{x})_{x\in X})}$ von ${\displaystyle {\mathcal {V}}}$, das eine offene Überdeckung ${\displaystyle (U_{i})_{i\in I}}$ besitzt, sodass ${\displaystyle (U_{i},{\mathcal {O}}_{X}|_{U_{i}},(v_{x})_{x\in U_{i}})}$ für alle ${\displaystyle i\in I}$ ein affinoider adischer Raum ist.^[9]

Es gibt einen kanonischen Funktor ${\displaystyle (-)^{\mathrm {ad} }}$ von der Kategorie der garbigen formalen Schemata in die Kategorie der adischen Räume.^[10] Dieser ist volltreu auf der vollen Unterkategorie lokal noetherscher formaler Schemata.^[11]

• Roland Huber: A generalization of formal schemes and rigid analytic varieties, Springer-Verlag 1994, Math. Z. 217, 513–551 (1994).
• Roland Huber: Bewertungsspektrum und rigide Geometrie. Regensburg: Fakultät für Mathematik der Universität Regensburg (1993; Zbl 0806.13001)
• Roland Huber: Étale cohomology of rigid analytic varieties and adic spaces. Wiesbaden: Vieweg (1996; Zbl 0868.14010)
• Sophie Morel: Adic Spaces, 2019.
• Torsten Wedhorn: Adic Spaces, Arxiv, 2019.

1. ↑ Roland Huber: A generalization of formal schemes and rigid analytic varieties, Springer-Verlag 1994, Math. Z. 217, 513–551 (1994).
2. ↑ Peter Scholze: Perfectoid spaces. In: Publications mathématiques de l’IHÉS. Band 116, Nr. 1. Springer, November 2012, S. 245–313, doi:10.1007/s10240-012-0042-x, arxiv:1111.4914 (englisch). 
3. ↑ Wedhorn: Def. 7.7
4. ↑ Wedhorn: Def. 7.23
5. ↑ Wedhorn: Def. 7.29
6. ↑ Wedhorn: Prop. 8.2
7. ↑ Wedhorn: §8
8. ↑ Wedhorn: Def. 8.21
9. ↑ Wedhorn: Def. 8.22
10. ↑ Wedhorn: Remark 9.35
11. ↑ Wedhorn: Proposition 9.39