∞-Chern-Weil-Theorie

∞-Chern-Weil-Theorie ist eine verallgemeinerte Formulierung der Chern-Weil-Theorie aus dem mathematischen Teilgebiet der Differentialgeometrie mit den Methoden der Höheren Kategorientheorie. Benannt ist die Theorie nach Shiing-Shen Chern und André Weil, welche in den 1940er Jahren erstmals den Chern-Weil-Homomorphismus konstruiert haben, obwohl die Verallgemeinerung nicht von ihnen stammt.

Es gibt drei verschiedene äquivalente Beschreibungen der ${\displaystyle k}$-ten Chern-Klasse von komplexen Vektorbündeln vom Rang ${\displaystyle n}$, nämlich als:

• (1-kategorielle) natürliche Transformation ${\displaystyle [-,\operatorname {BU} (n)]\Rightarrow [-,K(\mathbb {Z} ,2k)]}$
• Homotopieklasse einer stetigen Abbildung ${\displaystyle \operatorname {BU} (n)\rightarrow K(\mathbb {Z} ,2k)}$
• singuläre Kohomologieklasse in ${\displaystyle H^{2k}(\operatorname {BU} (n),\mathbb {Z} )}$

Dabei ist ${\displaystyle \operatorname {BU} (n)}$ der klassifizierende Raum der unitären Gruppe ${\displaystyle \operatorname {U} (n)}$ und ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2k)}$ ein Eilenberg-MacLane-Raum, welche die Menge der komplexen Vektorbündel vom Rang ${\displaystyle n}$ durch ${\displaystyle [-,\operatorname {BU} (n)]\cong \operatorname {Vect} _{\mathbb {C} }^{n}(-)}$ und die singuläre Kohomologie durch ${\displaystyle [-,K(\mathbb {Z} ,2k)]\cong H^{2k}(-,\mathbb {Z} )}$ darstellen. Die Äquivalenz zwischen den vorderen beiden Beschreibungen ist durch das Yoneda-Lemma gegeben. Die Äquivalenz zwischen den hinteren beiden Bedingungen ist wieder durch die Klassifikation von singulärer Kohomologie durch Eilenberg-MacLane-Räume gegeben. Die der Chern-Klasse entsprechende singuläre Kohomologieklasse ist die des universellen Vektorbündels, also ${\displaystyle c_{k}(\gamma _{\mathbb {C} }^{n})\in H^{2k}(\operatorname {BU} (n),\mathbb {Z} )}$.

Ein einfaches Beispiel, welches die Notwendigkeit für eine weitere Sicht und die Beschreibung durch höhere Strukturen motiviert, ist der klassifizierende Raum ${\displaystyle \operatorname {BU} (1)\cong \mathbb {C} P^{\infty }}$. Dieser hat eine H-Raum-Struktur, welche bis auf Homotopie eindeutig ist, wodurch sich erneut der klassifizierende Raum betrachten lässt, welcher mit ${\displaystyle \operatorname {B^{2}U} (1)}$ notiert wird. Wegen dieser Eigenschaft ist ${\displaystyle \operatorname {U} (1)\cong S^{1}}$ eine 2-Gruppe und ${\displaystyle \operatorname {B^{2}U} (1)}$ ein Lie-2-Gruppoid.^[1] Die Bildung des klassifizierenden Raumes verschiebt die Homotopiegruppen eins hinauf, also sind ${\displaystyle \operatorname {U} (1)}$, ${\displaystyle \operatorname {BU} (1)}$ und ${\displaystyle \operatorname {B^{2}U} (1)}$ jeweils die Eilenberg-MacLane-Räume ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,1)}$, ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2)}$ und ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,3)}$. Dadurch benötigt die Beschreibung des Eilenberg-MacLane-Raumes ${\displaystyle K(\mathbb {Z} ,2k)}$ die Wiederholung dieses Prozesses, wofür der Wechsel zu ∞-Gruppen nötig ist. Da Schleifenräume die Homotopiegruppen eins hinab verschieben, ist der klassifizierende Raum in der ∞-Kategorie ${\displaystyle \operatorname {Top} }$ der topologischen Räume allgemeiner als Entschleifung bekannt. Im ∞-Topos ${\displaystyle \infty \operatorname {Grpd} }$ der ∞-Gruppoide korrespondiert diese mit der Bildung der ∞-Kategorie mit einem Objekt.

Sei ${\displaystyle \mathbf {H} }$ ein ∞-Topos. Das fundamentale ∞-Gruppoid ${\displaystyle \Pi \colon \mathbf {H} \rightarrow \infty \operatorname {Grpd} }$ hat einen rechtsadjungierten Funktor ${\displaystyle \operatorname {Disc} \colon \infty \operatorname {Grpd} \rightarrow \mathbf {H} }$, welcher wieder einen rechtsadjungierten Funktor ${\displaystyle \Gamma \colon \mathbf {H} \rightarrow \infty \operatorname {Grpd} }$ hat, sodass ${\displaystyle \Pi \dashv \operatorname {Disc} \dashv \Gamma }$.^[2] Seien ${\displaystyle \textstyle \int :=\operatorname {Disc} \circ \Pi \colon \mathbf {H} \rightarrow \mathbf {H} }$ und ${\displaystyle \flat :=\operatorname {Disc} \circ \Gamma \colon \mathbf {H} \rightarrow \mathbf {H} }$, dann gibt es eine Adjunktion ${\displaystyle \textstyle \int \dashv \flat }$.^[3]

Seien ${\displaystyle G}$ ein ∞-Gruppoid und ${\displaystyle \mathbf {B} G}$ dessen Entschleifung. Eine charakteristische Klasse ist ein Morphismus ${\displaystyle c\colon \mathbf {B} G\rightarrow \mathbf {B} ^{n}\operatorname {U} (1)}$. Die Koeinheit von ${\displaystyle \operatorname {Disc} \dashv \Gamma }$ erzeugt eine kanonische Abbildung ${\displaystyle \flat \mathbf {B} G\rightarrow \mathbf {B} G}$. Dessen Homotopiefaser, welche die Obstruktion für die Existenz von flachen Hebungen angibt, wird mit ${\displaystyle \flat _{\mathrm {dR} }\mathbf {B} G}$ notiert (wobei dR für de Rham steht), womit es eine Sequenz ${\displaystyle \flat _{\mathrm {dR} }\mathbf {B} G\rightarrow \flat \mathbf {B} G\rightarrow \mathbf {B} G}$ gibt. Im Fall von ${\displaystyle G=\mathbf {B} ^{n-1}\operatorname {U} (1)}$ gibt es einen als Krümmung bezeichneten verbindenden Morphismus ${\displaystyle \operatorname {curv} \colon \mathbf {B} ^{n}\operatorname {U} (1)\rightarrow \flat _{\mathrm {dR} }\mathbf {B} ^{n+1}\operatorname {U} (1)}$, welcher die Sequenz erweitert und sogar alle miteinander verbindet. Für ein ∞-Gruppoid ${\displaystyle G}$ ist die Komposition:

${\displaystyle \operatorname {curv} \circ c\colon \mathbf {B} G\rightarrow \flat _{\mathrm {dR} }\mathbf {B} ^{n+1}\operatorname {U} (1)}$

der ∞-Chern-Weil-Homomorphism.^[3] Durch Nachkomposition ordnet dieser einem ${\displaystyle G}$-∞-Hauptfaserbündel ${\displaystyle X\rightarrow \mathbf {B} G}$ eine de Rham-Kohomologieklasse ${\displaystyle X\rightarrow \flat _{\mathrm {dR} }\mathbf {B} ^{n+1}\operatorname {U} (1)}$ zu, alternativ geschrieben als Morphismus ${\displaystyle H(X,G)\rightarrow H_{\mathrm {dR} }^{n+1}(X)}$ mit intrinsischer^[4] und de Rham-Kohomologie:

${\displaystyle H(X,G):=\pi _{0}\mathbf {H} (X,\mathbf {B} G);}$

${\displaystyle H_{\mathrm {dR} }^{n}(X,G):=\pi _{0}\mathbf {H} (X,\flat _{\mathrm {dR} }\mathbf {B} G).}$

Zusätzlich gibt es ebenfalls die flache differentielle ${\displaystyle G}$-wertige Kohomologie:

${\displaystyle H_{\mathrm {flat} }(X,G):=\pi _{0}\mathbf {H} (X,\flat \mathbf {B} G)\cong \pi _{0}\mathbf {H} (\textstyle \int X,\mathbf {B} G)}$

wobei der kanonische Morphismus ${\displaystyle \flat \mathbf {B} G\rightarrow \mathbf {B} G}$ einen Vergissmorphismus ${\displaystyle H_{\mathrm {flat} }(X,G)\rightarrow H(X,G)}$ induziert.^[3]

• ∞-Chern-Simons-Theorie

• Urs Schreiber: Differential cohomology in a cohesive ∞-topos. 29. Oktober 2013 (englisch, ncatlab.org [PDF]). 
• Domenico Fiorenza, Urs Schreiber, Jim Stasheff: Cech cocycles for differential characteristic classes -- An infinity-Lie theoretic construction. 8. Juni 2011; abgerufen im 1. Januar 1 (englisch, 1011.4735). 

• Chern-Weil theory in Smooth∞Grpd auf nLab (englisch)

1. ↑ Schreiber 2013, 1.2.6.2 on p. 102
2. ↑ Schreiber 2013, S. 97
3. ↑ ^{a b c} Schreiber 2013, 1.2.7.2 on p. 134–136
4. ↑ Schreiber 2013, p. 96