Zyklischer Untervektorraum

In der Mathematik der Linearen Algebra versteht man unter einem Zyklischen Untervektorraum einen Untervektorraum eines Vektorraums zusammen mit einem Vektor und einem Endomorphismus des Obervektorraums. Für einen Endomorphismus ${\displaystyle f}$ und einen Vektor ${\displaystyle v}$ von ${\displaystyle V}$ nennt man diesen auch ${\displaystyle f}$-zyklischen Untervektorraum zu ${\displaystyle v}$ und ${\displaystyle v}$ zyklischen Vektor von ${\displaystyle f}$. Zyklische Unterräume sind ein wichtiger Bestandteil des zyklischen Zerlegungssatzes der Linearen Algebra.

Sei ${\displaystyle V}$ ein endlich-dimensionaler Vektorraum, ${\displaystyle f:V\rightarrow V}$ ein Endomorphismus und ${\displaystyle v}$ ein Vektor aus ${\displaystyle V}$. Der ${\displaystyle f}$-zyklische Untervektorraum von ${\displaystyle V}$ zu ${\displaystyle v}$, im Englischen meist ${\displaystyle Z(v;f)}$ geschrieben, ist der ${\displaystyle f}$-invariante Untervektorraum von ${\displaystyle V}$ mit dem Aufspann:${\displaystyle \langle v,f(v),f^{2}(v),\ldots ,f^{r}(v),\ldots \rangle }$.

Nach Definition des Aufspanns eines Vektorraums ist dies also äquivalent dazu, dass jeder Vektor aus ${\displaystyle Z(v;f)}$ sich als ${\displaystyle g(f)v}$ schreiben lässt, wobei ${\displaystyle g(x)}$ aus dem Polynomring ${\displaystyle K[x]}$ stammt, wobei der Körper ${\displaystyle K}$ jener ist, über den der Vektorraum induziert wird.^[1]

1. Für alle ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle f}$ ist ${\displaystyle Z(0;f)}$ der Nullvektorraum.
2. Ist ${\displaystyle I}$ die Identitätsabbildung so ist ${\displaystyle Z(v;I)}$ null- oder ein-dimensional.
3. ${\displaystyle Z(v;f)}$ ist genau dann ein-dimensional, wenn ${\displaystyle v}$ ein Eigenvektor von ${\displaystyle f}$ ist.
4. Sei ${\displaystyle V}$ der zwei-dimensionale ${\displaystyle \mathbb {R} }$-Vektorraum und sei ${\displaystyle f}$ der Endomorphismus von ${\displaystyle V}$ mit darstellender Matrix ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}$ bezüglich der kanonischen Einheitsbasis von ${\displaystyle V}$. Sei ${\displaystyle v={\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$. Dann gilt: ${\displaystyle f(v)={\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}},\quad f^{2}(v)=0,\ldots ,f^{r}(v)=0,\ldots }$Also folgt: ${\displaystyle \langle v,f(v),f^{2}(v),\ldots ,f^{r}(v),\ldots \rangle =\left\langle {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}},{\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}\right\rangle }$ und somit ${\displaystyle Z(v;f)}$ ${\displaystyle =V}$ . Damit ist ${\displaystyle v}$ ein zyklischer Vektor zu ${\displaystyle f}$.

Es seien ${\displaystyle f:V\rightarrow V}$ ein Endomorphismus eines ${\displaystyle n}$-dimensionalen ${\displaystyle K}$-Vektorraums ${\displaystyle V}$ und ${\displaystyle v}$ ein zyklischer Vektor zu ${\displaystyle f}$. Dann bilden die Vektoren

${\displaystyle \mathrm {B} =\{v_{1}=v,v_{2}=f(v),v_{3}=f^{2}(v),\ldots ,v_{n}=f^{n-1}(v)\}}$

eine Basis von ${\displaystyle V}$. Dies lässt sich leicht per Widerspruch zur Minimalität des Minimalpolynoms beweisen. Das charakteristische Polynom von ${\displaystyle f}$ sei durch

${\displaystyle p(x)=c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^{2}+\cdots +c_{n-1}x^{n-1}+x^{n}}$ gegeben.

Dann folgt:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(v_{1})&=v_{2}\\f(v_{2})&=v_{3}\\f(v_{3})&=v_{4}\\\vdots &\\f(v_{n-1})&=v_{n}\\f(v_{n})&=-c_{0}v_{1}-c_{1}v_{2}-\cdots c_{n-1}v_{n}\end{aligned}}}$

Also hat die darstellende Matrix von ${\displaystyle f}$ bezüglich der Basis ${\displaystyle \mathrm {B} }$ die Form:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0&0&\cdots &0&-c_{0}\\1&0&0&\ldots &0&-c_{1}\\0&1&0&\ldots &0&-c_{2}\\\vdots &&&&&\\0&0&0&\ldots &1&-c_{n-1}\end{pmatrix}}}$

Die Matrix nennt man auch die Begleitmatrix von ${\displaystyle p(x)}$.^[1]

• Begleitmatrix
• Krylowraum

• PlanetMath: cyclic subspace

1. ↑ ^{a b} Kenneth Hoffman, Ray Kunze: Linear algebra. 2nd Auflage. Prentice-Hall, Inc., Englewood Cliffs, N.J. 1971, S. 227 (englisch, archive.org).