Zusammengesetzte Poisson-Verteilung

Die zusammengesetzte Poisson-Verteilung ist eine Verallgemeinerung der Poisson-Verteilung und spielt eine wichtige Rolle bei Poisson-Prozessen und der Theorie der unendlichen Teilbarkeit. Im Gegensatz zu vielen anderen Verteilungen ist bei der zusammengesetzten Poisson-Verteilung nicht a priori festgelegt, ob sie stetig oder diskret ist. Sie sollte nicht mit der gemischten Poisson-Verteilung verwechselt werden.

Ist ${\displaystyle N}$ eine Poisson-verteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert ${\displaystyle \lambda }$ und sind ${\displaystyle (X_{i})_{i\in \mathbb {N} }}$ unabhängig und identisch verteilte Zufallsvariablen, so heißt die Zufallsvariable

${\displaystyle Y:=\sum _{i=1}^{N}X_{i}}$

zusammengesetzt Poisson-verteilt . Sind die ${\displaystyle X_{i}}$ alle auf ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ definiert, also diskret, so heißt ${\displaystyle Y}$ diskret zusammengesetzt Poisson-verteilt. In beiden Fällen schreibt man ${\displaystyle Y\sim {\text{CPoi}}_{\lambda \mu }}$, wobei ${\displaystyle \mu }$ die Verteilung von ${\displaystyle X_{1}}$ ist. Wahrscheinlichkeitsdichten oder Wahrscheinlichkeitsfunktionen sowie Verteilungsfunktionen lassen sich nur in Spezialfällen geschlossen angeben, aber eventuell mit dem Panjer-Algorithmus approximieren.

Gelegentlich finden sich auch in der deutschen Literatur die englischen Begriffe compound Poisson und discrete compound Poisson.

Für den Erwartungswert gilt nach der Formel von Wald:

${\displaystyle \operatorname {E} (Y)=\lambda \operatorname {E} (X_{1})}$.

Nach der Blackwell-Girshick-Gleichung gilt

${\displaystyle \operatorname {Var} (Y)=\lambda \,(\operatorname {E} (X_{1}))^{2}+\lambda \operatorname {Var} (X_{1})=\lambda \operatorname {E} (X_{1}^{2}),}$

wenn die zweiten Momente von ${\displaystyle X_{i}}$ existieren. Dabei folgt die zweite Gleichheit aus dem Verschiebungssatz.

Mittels der Kumulanten ergibt sich für die Schiefe

${\displaystyle \operatorname {v} (Y)={\frac {\lambda \operatorname {E} (X_{1}^{3})}{\left(\lambda \operatorname {E} (X_{1}^{2})\right)^{\frac {3}{2}}}}}$.

Für den Exzess ergibt sich mittels der Kumulanten

${\displaystyle \gamma ={\frac {\operatorname {E} (X_{1}^{4})}{\lambda \operatorname {E} (X_{1}^{2})^{2}}}}$.

Die kumulantenerzeugende Funktion ist

${\displaystyle g_{X}(t)=\lambda (M_{X_{1}}(t)-1)}$,

wobei ${\displaystyle M_{X_{1}}(t)}$ die momenterzeugende Funktion von ${\displaystyle X_{1}}$ ist. Damit gilt für alle Kumulanten

${\displaystyle \kappa _{k}=\lambda \operatorname {E} (X_{1}^{k})}$.

Die momenterzeugende Funktion ergibt sich als Verkettung von der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion der Poisson-Verteilung und der momenterzeugenden Funktion der ${\displaystyle X_{i}}$:

${\displaystyle M_{Y}(t)=\exp(\lambda (M_{X_{1}}(t)-1))}$.

Die charakteristische Funktion ergibt sich als Verkettung von der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion der Poisson-Verteilung und der charakteristischen Funktion der ${\displaystyle X_{i}}$:

${\displaystyle \varphi _{Y}(t)=\exp(\lambda (\varphi _{X_{1}}(t)-1))}$

Sind die ${\displaystyle X_{i}}$ diskret, so ist die wahrscheinlichkeitserzeugende Funktion definiert und ergibt sich als Verkettung der wahrscheinlichkeitserzeugenden Funktion von ${\displaystyle N}$ und von ${\displaystyle X_{i}}$ zu

${\displaystyle m_{Y}(t)=\exp(\lambda (m_{X_{1}}(t)-1))}$.

Eine zusammengesetzt Poisson-verteilte Zufallsvariable ist unendlich teilbar. Es lässt sich zeigen, dass eine Zufallsvariable auf ${\displaystyle \mathbb {N} _{0}}$ genau dann unendlich teilbar ist, wenn die Zufallsvariable diskret zusammengesetzt Poisson-verteilt ist.

Ist ${\displaystyle X_{i}=1}$ fast sicher, so fallen Poisson-Verteilung und zusammengesetzte Poisson-Verteilung zusammen.

Da sowohl die geometrische Verteilung als auch die negative Binomialverteilung unendlich teilbar sind, handelt es sich um zusammengesetzte Poisson-Verteilungen. Sie entstehen bei Kombination mit der logarithmischen Verteilung. Die Parameter der negativen Binomialverteilung errechnen sich als ${\displaystyle p_{\text{log}}=1-p_{\text{neg}}}$ und ${\displaystyle r={\frac {-\lambda }{\ln(1-p_{\text{log}})}}}$.

• A.V. Prokhorov: Poisson distribution. In: Michiel Hazewinkel (Hrsg.): Encyclopedia of Mathematics. Springer-Verlag und EMS Press, Berlin 2002, ISBN 1-55608-010-7 (englisch, encyclopediaofmath.org). 

• Achim Klenke: Wahrscheinlichkeitstheorie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-36017-6, doi:10.1007/978-3-642-36018-3.