Verallgemeinertes Pochhammer-Symbol

In der Mathematik ist das verallgemeinerte Pochhammer-Symbol eine Verallgemeinerung des Pochhammer-Symbols. Die Funktion tritt in der Theorie der Zufallsmatrizen, in der Theorie der multivariablen orthogonalen Polynome und in der multivariaten Statistik auf.

Das verallgemeinerte Pochhammer-Symbol trägt den Namen von Leo August Pochhammer.

Sei

• ${\displaystyle \kappa =(k_{1},\dots ,k_{p})}$ eine Partition von ${\displaystyle n\in \mathbb {N} _{0}}$, das heißt, es gilt ${\displaystyle n=k_{1}+\dots +k_{p}}$ und ${\displaystyle k_{1}\geq \cdots \geq k_{p}\geq 0}$ wobei ${\displaystyle k_{1}\,\cdots ,k_{p}\in \mathbb {N} _{0}}$.
• ${\displaystyle l(\kappa )}$ die Länge der Partition ${\displaystyle \kappa }$, das heißt die Anzahl Folgenglieder, welche verschieden von Null sind (das bedeutet ${\displaystyle l((2,1,0,0))=2}$),
• ${\displaystyle (a)_{k}}$ ist das Pochhammer-Symbol respektive die steigende Faktorielle

${\displaystyle (a)_{k}={\frac {\Gamma (a+k)}{\Gamma (a)}}=\prod \limits _{j=1}^{k}(a+j-1).}$

Das verallgemeinerte Pochhammer-Symbol mit Parameter ${\displaystyle \alpha }$ zur Partition ${\displaystyle \kappa }$ ist definiert als

${\displaystyle (a)_{\kappa }^{\alpha }:=\prod \limits _{i=1}^{l(\kappa )}\left(a-{\frac {i-1}{\alpha }}\right)_{k_{i}}=\prod \limits _{i=1}^{l(\kappa )}\prod \limits _{j=1}^{k_{i}}\left(a-{\frac {i-1}{\alpha }}+j-1\right)}$.^[1]

Ausgedrückt mit Hilfe der Gamma-Funktion

${\displaystyle (a)_{\kappa }^{\alpha }=\prod \limits _{i=1}^{l(\kappa )}{\frac {\Gamma \left(a-{\frac {i-1}{\alpha }}+k_{i}\right)}{\Gamma \left(a-{\frac {i-1}{\alpha }}\right)}}}$.^[1]

Den Fall ${\displaystyle \alpha =1}$ nennt man auch verallgemeinerte hypergeometrische Koeffizienten und ist

${\displaystyle (a)_{\kappa }^{1}=\prod \limits _{i=1}^{l(\kappa )}\left(a-i+1\right)_{k_{i}}=\prod \limits _{i=1}^{l(\kappa )}\prod \limits _{j=1}^{k_{i}}\left(a-i+j\right).}$

Dieser Fall taucht in der hypergeometrischen Funktion mit Matrix-Argument auf.

• Arjun K. Gupta, D. K. Nagar: Matrix variate distributions. Chapman & Hall /CRC, 2000, ISBN 1-58488-046-5 (englisch). 

1. ↑ ^{a b} Ioana Dumitriu, Alan Edelman und Gene Shuman: MOPS: Multivariate orthogonal polynomials (symbolically). In: Journal of Symbolic Computation. Band 42, Nr. 6, 2007, S. 587–620, doi:10.1016/j.jsc.2007.01.005.