Verallgemeinerte Konvexität

Die verallgemeinerte Konvexität (englisch generalized convexity) ist eine Verallgemeinerung des gewöhnlichen Konvexitätsbegriff für Funktionen und Mengen, die sich insbesondere bei der Behandlung nicht-konvexer Optimierungsprobleme als nützlich erweist.

Gegeben sei eine Menge ${\displaystyle X\neq \emptyset }$ und die Menge aller Abbildungen von ${\displaystyle X}$ nach ${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle F(X)=\{\varphi \mid \varphi \colon X\to \mathbb {R} \}}$

Eine Menge ${\displaystyle \Phi \subseteq F(X)}$ heißt Referenzsystem für ${\displaystyle X}$ genau dann, wenn gilt:

1. ${\displaystyle \forall \varphi \in \Phi ,\lambda \geq 0:\lambda \varphi \in \Phi }$
2. ${\displaystyle \forall \varphi \in \Phi ,c\in \mathbb {R} :\varphi +c\in \Phi }$

Eine (erweiterte) reellwertige Funktion ${\displaystyle f\colon X\mapsto {\overline {\mathbb {R} }}}$ heißt ${\displaystyle \Phi }$-konvex genau dann, wenn eine Menge ${\displaystyle \Phi _{0}\subset \Phi }$ existiert, so dass

${\displaystyle f(x)=\sup _{\varphi \in \Phi _{0}}\varphi (x)}$

gilt.

Eine Menge ${\displaystyle A\subseteq X}$ heißt ${\displaystyle \Phi }$-konvex genau dann, wenn es eine Menge ${\displaystyle \Phi _{0}\subseteq \Phi }$ gibt und zu jedem ${\displaystyle \varphi \in \Phi _{0}}$ ein ${\displaystyle a_{\varphi }}$ existiert, so dass

${\displaystyle A=\bigcap _{\varphi \in \Phi _{0}}\{x\in X:\varphi (x)\leq a_{\phi }\}}$

• Nimmt man zum Beispiel als Referenzsystem die affinen Funktionen, also ${\displaystyle \Phi =\{\varphi \,|\,\varphi (x)=\langle v,x\rangle +c,v\in \mathbb {R} ^{n},c\in \mathbb {R} \}}$, dann stimmt die ${\displaystyle \Phi }$-Konvexität mit der gewöhnlichen Konvexität überein.

• Die Lipschitz-stetigen Funktionen sind zum Referenzsystem der peak-Funktionen ${\displaystyle \Phi =\{\varphi \,|\,\varphi (x)=-k\cdot d(x,x_{0})+c,x_{0}\in X,c\in \mathbb {R} \}}$ ${\displaystyle \Phi }$-konvex.

• Konvexe Funktion
• Konvexe Menge
• Konvexe Optimierung

• Szymon Dolecki, Stanisl Aw Kurcyusz: On ${\displaystyle \Phi }$-Convexity in Extremal Problems. In: SIAM Journal on Control and Optimization. Band 16, Nr. 2, 1978, S. 277–300, doi:10.1137/0316018 (aip.org). 
• Diethard Pallaschke, Rolewicz, S.: Foundations of Mathematical Optimization: Convex Analysis Without Linearity. Kluwer Academic Publishers, 1997, ISBN 0-7923-4424-3.