Symmetrische Algebra

Eine symmetrische Algebra ist ein Hilfsmittel zur Definition von Polynomen über beliebigen Vektorräumen. Symmetrische Algebren spielen eine wichtige Rolle etwa in der Theorie der Lie-Gruppen und in der Theorie der charakteristischen Klassen.

Es sei ${\displaystyle V}$ ein Vektorraum über einem Körper ${\displaystyle K}$. Weiter sei

${\displaystyle T^{k}(V)=\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{k{\text{-mal}}}}$

das ${\displaystyle k}$-fache Tensorprodukt von ${\displaystyle V}$ mit den Konventionen ${\displaystyle T^{0}(V)=K}$ und ${\displaystyle T^{1}(V)=V}$. Die direkte Summe

${\displaystyle T(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }T^{k}(V)}$

ist die Tensoralgebra von ${\displaystyle V}$.

Das zweiseitige, homogene Ideal ${\displaystyle I(V)\subseteq T(V)}$ sei erzeugt durch Differenzen von Elementartensoren mit „vertauschter Reihenfolge“:

${\displaystyle I(V):=\mathrm {span} \left\{v\otimes w-w\otimes v\;{\Big |}\;v,w\in V\right\}}$.

Die symmetrische Algebra ist dann definiert als der Quotientenraum

${\displaystyle S(V)=T(V)/I(V)}$.

Die ${\displaystyle k}$-te symmetrische Potenz von ${\displaystyle V}$ ist definiert als das Bild von ${\displaystyle T^{k}(V)}$ in ${\displaystyle S(V)}$, sie wird mit ${\displaystyle S^{k}(V)}$ bezeichnet. Man hat eine Zerlegung

${\displaystyle S(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }S^{k}(V)}$.

Das Produkt in der symmetrischen Algebra wird traditionell als ${\displaystyle ab}$ geschrieben.

Analog kann man die symmetrische Algebra von Moduln über kommutativen Ringen definieren.

Für ${\displaystyle V=K}$ ist ${\displaystyle S(V)}$ isomorph zum Polynomring ${\displaystyle K[X]}$.

Allgemein kann man die Elemente von ${\displaystyle S(V)}$ als Polynome in den Elementen einer fest gewählten ${\displaystyle K}$-Basis von ${\displaystyle V}$ interpretieren.

Speziell für ${\displaystyle V:={\mathfrak {gl}}(n,K)=\operatorname {Mat} (n,K)}$, den Vektorraum der ${\displaystyle n\times n}$-Matrizen über ${\displaystyle K}$, kann man die Elemente von ${\displaystyle S(V)}$ als Polynome in den Einträgen der Matrizen interpretieren:

${\displaystyle S({\mathfrak {gl}}(n,K))\simeq K\left[x_{11},\ldots ,x_{nn}\right]}$.

Homogene Polynome vom Grad ${\displaystyle k}$ über einem ${\displaystyle \mathbb {K} }$-Vektorraum ${\displaystyle V}$ sind – per Definition – die Elemente aus ${\displaystyle S^{k}(V^{*})}$, wobei ${\displaystyle V^{*}}$ den Dualraum bezeichnet. Diese Polynome sind lineare Abbildungen

${\displaystyle P:\underbrace {V\otimes \cdots \otimes V} _{k{\text{-mal}}}\rightarrow \mathbb {K} }$

welche unter der Wirkung der symmetrischen Gruppe ${\displaystyle S_{k}}$ invariant sind. (Man beachte, dass ein solches Polynom durch seine Werte ${\displaystyle P(x,x,\ldots ,x)}$ für alle ${\displaystyle x\in V}$ bereits eindeutig festgelegt wird.)

Das Produkt

${\displaystyle S^{k}(V^{*})\otimes S^{l}(V^{*})\rightarrow S^{k+l}(V^{*})}$

ist definiert durch

${\displaystyle (PQ)(v_{1},\ldots ,v_{k+l})={\frac {1}{(k+l)!}}\sum _{\sigma \in S_{k+l}}P(v_{\sigma (1)},\ldots .v_{\sigma (k)})Q(v_{\sigma (k+1)},\ldots ,v_{\sigma (k+l)})}$.

• Graßmann-Algebra

• Johan L. Dupont: Curvature and characteristic classes. Lecture Notes in Mathematics, Vol. 640. Springer, Berlin-New York 1978. ISBN 3-540-08663-3