String-Struktur

Eine String-Struktur ist eine spezielle tangentiale Struktur auf einer glatten Mannigfaltigkeit, also definiert über ihr Tangentialbündel, oder allgemeiner sogar eine Struktur auf einem beliebigen Vektorbündel. Zugrundeliegend ist dabei die String-Gruppe, die 3-zusammenhängende Überlagerung der orthogonalen Gruppe aus ihrem Whitehead-Turm, deren klassifizierender Raum zur Beschreibung aller Vektorbündel dient.^[1] String-Strukturen werden dadurch insbesondere zu Spezialfällen von Orientierbarkeit. Eine glatte Mannigfaltigkeit mit einer String-Struktur wird String-Mannigfaltigkeit genannt. Eine String-Struktur ist ein Spezialfall einer Spin-Struktur und dadurch insbesondere einer Orientierung sowie eine Verallgemeinerung einer Fivebrane-Struktur. Ihre Benennung stammt von der Verwendung in der M-Theorie, einer gemeinsamen Verallgemeinerung von fünf Stringtheorien, insbesondere bei der Beschreibung von Strings.

Ein ${\displaystyle n}$-dimensionales Vektorbündel ${\displaystyle E\twoheadrightarrow X}$ mit parakompakter Basis ${\displaystyle X}$ kann über den Rückzug des universellen Vektorbündels alternativ durch die Homotopieklasse einer stetigen Abbildung ${\displaystyle f\colon X\rightarrow \operatorname {BO} (n)}$ mit ${\displaystyle E=f^{*}\gamma _{\mathbb {R} }^{n}}$ beschrieben werden. (Dabei ist ${\displaystyle [X,\operatorname {BO} (n)]\rightarrow \operatorname {Vect} _{\mathbb {R} }^{n}(X),[f]\mapsto f^{*}\gamma _{\mathbb {R} }^{n}}$ eine Bijektion.^[1]) Diese kann über die von der Überlagerung ${\displaystyle p\colon \operatorname {String} (n)=\operatorname {O} (n)\langle 4\rangle \twoheadrightarrow \operatorname {O} (n)}$ der String-Gruppe induzierte Abbildung ${\displaystyle {\mathcal {B}}p\colon \operatorname {BString} (n)=\operatorname {BO} (n)\langle 5\rangle \rightarrow \operatorname {BO} (n)}$ faktorisieren. Eine sich dabei ergebende stetige Abbildung ${\displaystyle {\widehat {f}}\colon X\rightarrow \operatorname {BString} (n)}$, also mit einer Homotopie ${\displaystyle f\simeq {\mathcal {B}}p\circ {\widehat {f}}}$, wird String-Struktur genannt. Insbesondere für eine glatte Mannigfaltigkeit ${\displaystyle X}$ wird eine String-Struktur ihres Tangentialbündels ${\displaystyle TX\twoheadrightarrow X}$ auch einfach String-Struktur der Mannigfaltigkeit genannt.

In beiden Fällen wird häufig auch auf das stabile Vektorbündel übergegangen, also über die kanonischen Inklusionen ${\displaystyle \operatorname {BO} (n)\hookrightarrow \operatorname {BO} }$ und ${\displaystyle \operatorname {BString} (n)\hookrightarrow \operatorname {BString} }$ auf die induktiven Limiten und entsprechend auf die klassifizierende Abbildung ${\displaystyle X\rightarrow \operatorname {BO} }$ und eine Hochhebung ${\displaystyle X\rightarrow \operatorname {BString} }$.

Zu den String-Mannigfaltigkeiten gehören:

• Reeller projektiver Raum ${\displaystyle \mathbb {R} P^{16n+7}}$ mit ${\displaystyle n\geq 0}$^[2]
• ${\displaystyle G_{2}/T}$ mit einem maximalen Torus ${\displaystyle T<G_{2}}$^[2]
• Cayley-Ebene ${\displaystyle \mathbb {O} P^{2}=\operatorname {Spin} (9)/F_{4}}$^[3][2]
• ${\displaystyle F_{4}/G_{2}}$^[2]

• Für eine String-Mannigfaltigkeit ${\displaystyle X}$ ist der Kohomologiering ${\displaystyle H^{*}(X,\mathbb {Z} _{2})}$ Poincaré-selbstdual bezüglich der Steenrod-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}(2)_{2}}$ und der Kohomologiering ${\displaystyle H^{*}(X,\mathbb {Z} _{3})}$ Poincaré-selbstdual bezüglich der Steenrod-Algebra ${\displaystyle {\mathcal {A}}(1)_{3}}$.^[4]

• Hisham Sati: OP2 bundles in M-theory. In: Communications in Theoretical Physics. Band 3, 30. Juli 2008, S. 495–530, doi:10.48550/arXiv.0807.4899, arxiv:0807.4899 (englisch). 
• Christopher L. Douglas, André G. Henriques and Michael A. Hill: Homological obstructions to string orientations. In: International Mathematics Research Notices. Band 18, 12. Oktober 2008, S. 4074–4088, doi:10.48550/arXiv.0810.2131, arxiv:0810.2131 (englisch). 

• string structure auf nLab (englisch)

1. ↑ ^{a b} Allen Hatcher: Vector bundles and K-theory. Theorem 1.16. (cornell.edu [PDF]). 
2. ↑ ^{a b c d} Douglas, Henriques & Hill 2008, S. 8
3. ↑ Sati 2008, Proposition 3.11.
4. ↑ Douglas, Henriques & Hill 2008, Proposition 2.5.