sl(2,C)

In der Mathematik ist die Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ der Prototyp einer komplexen einfachen Lie-Algebra. Die ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ist eine dreidimensionale, komplexe, einfache Lie-Algebra. Durch diese Eigenschaften ist sie als Lie-Algebra bereits eindeutig identifiziert.

Die ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ist die dreidimensionale Lie-Algebra der speziellen linearen Gruppe ${\displaystyle SL(2,\mathbb {C} )}$. Sie ist über dem komplexen Zahlenkörper ${\displaystyle \mathbb {C} }$ definiert und hat zwei reelle Formen, die Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$ und die Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )}$.

Die Gruppe ${\displaystyle SL(2,\mathbb {C} )}$ spielt insbesondere in der Speziellen Relativitätstheorie eine Rolle, da sie die einfach zusammenhängende Überlagerung der eigentlichen orthochronen Lorentztransformationen ${\displaystyle SO_{0}(3,1)}$ ist.

Wir betrachten den durch die Basis x, y, h aufgespannten Vektorraum ${\displaystyle g=\langle \{x,y,h\}\rangle _{\mathbb {C} }}$. Die ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ist dann festgelegt durch folgende Kommutator-Relationen:

${\displaystyle [x,y]=h,\quad [h,x]=2x,\quad [h,y]=-2y}$

Eine häufig verwendete Realisierung erfolgt durch folgende spurlose 2×2-Matrizen:

${\displaystyle x={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\quad y={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}},\quad h={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$

Durch die Definition des Kreuzproduktes in ${\displaystyle \mathbb {C} ^{3}}$ und der folgenden Vektoren

${\displaystyle x=(1,\mathrm {i} ,0),\quad y=(-1,\mathrm {i} ,0),\quad h=(0,0,2\mathrm {i} )}$

ergibt sich die gleiche Algebra:

${\displaystyle x\times y=h,\quad h\times x=2x,\quad h\times y=-2y}$

${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ist eine einfache (insbesondere halbeinfache) Lie-Algebra.

Beweis: Sei ${\displaystyle {\mathfrak {a}}}$ ein nichttriviales Ideal in ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ und sei ${\displaystyle ax+bh+cy\in {\mathfrak {a}}\setminus 0}$ mit ${\displaystyle a,b,c\in \mathbb {C} }$. Wenn ${\displaystyle a=c=0}$, dann ${\displaystyle h\in {\mathfrak {a}}}$, damit ${\displaystyle 2x=\left[h,x\right]\in {\mathfrak {a}}}$ und ${\displaystyle 2y=\left[h,y\right]\in {\mathfrak {a}}}$, also ${\displaystyle {\mathfrak {a}}={\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$. Also können wir ${\displaystyle a\not =0}$ oder ${\displaystyle c\not =0}$ annehmen, o. B. d. A ${\displaystyle a\not =0}$. Aus ${\displaystyle \left[y,\left[y,ax+bh+cy\right]\right]=\left[y,-ah+2by\right]=-2ay}$ folgt dann ${\displaystyle y\in {\mathfrak {a}}}$ und damit auch ${\displaystyle h=\left[x,y\right]\in {\mathfrak {a}}}$, also wieder ${\displaystyle {\mathfrak {a}}={\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$.

Die Killing-Form von ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ lässt sich explizit durch die Formel

${\displaystyle B(v,w)=4\,\operatorname {Spur} (vw)}$

berechnen, es ist also

${\displaystyle B(x,x)=B(y,y)=0,\ B(h,h)=8}$

${\displaystyle B(x,y)=4,\ B(x,h)=B(y,h)=0.}$

Eine maximal kompakte Untergruppe der Lie-Gruppe ${\displaystyle SL(2,\mathbb {C} )}$ ist ${\displaystyle K=SU(2)}$, ihre Lie-Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {k}}={\mathfrak {su}}(2)}$ wird von ${\displaystyle i(x+y),\ x-y}$ und ${\displaystyle ih}$ aufgespannt.

Eine Cartan-Involution von ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ist gegeben durch

${\displaystyle \theta (A)=-{\overline {A}}^{T}}$.

${\displaystyle {\mathfrak {k}}={\mathfrak {su}}(2)}$ ist ihr Eigenraum zum Eigenwert ${\displaystyle 1}$. Man erhält die Cartan-Zerlegung

${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}}$,

wobei ${\displaystyle {\mathfrak {p}}=\left\{A\in {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} ):A={\overline {A}}^{T}\right\}}$ der Eigenraum zum Eigenwert ${\displaystyle -1}$ ist.

Eine Iwasawa-Zerlegung von ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ist

${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {a}}\oplus {\mathfrak {n}}}$

mit ${\displaystyle {\mathfrak {k}}={\mathfrak {su}}(2),\ {\mathfrak {a}}=\left\{{\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&-\lambda \end{pmatrix}}:\lambda \in \mathbb {R} \right\},\ {\mathfrak {n}}=\left\{{\begin{pmatrix}0&n\\0&0\end{pmatrix}}:n\in \mathbb {C} \right\}}$.

Die ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ hat zwei reelle Formen: ihre kompakte reelle Form ist ${\displaystyle {\mathfrak {su}}(2)}$, ihre spaltbare reelle Form ist ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {R} )}$.

Eine maximale abelsche Unteralgebra ist

${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}=\left\{{\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&-\lambda \end{pmatrix}}:\lambda \in \mathbb {C} \right\}}$.

${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$ ist eine Cartan-Unteralgebra.

Jede Cartan-Unteralgebra ${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subset {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ ist zu ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$ konjugiert, d. h., sie ist von der Form

${\displaystyle {\mathfrak {h}}=g{\mathfrak {h}}_{0}g^{-1}:=\left\{ghg^{-1}:h\in {\mathfrak {h}}_{0}\right\}}$

für ein ${\displaystyle g\in SL(2,\mathbb {C} )}$.

Das Wurzelsystem zu ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{0}}$ ist

${\displaystyle R=\left\{\alpha _{12}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}},\ \alpha _{21}={\begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}}\right\}}$.

Die dualen Wurzeln sind

${\displaystyle \alpha _{12}^{*}{\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&-\lambda \end{pmatrix}}=2\lambda ,\ \alpha _{12}^{*}{\begin{pmatrix}\lambda &0\\0&-\lambda \end{pmatrix}}=-2\lambda }$.

Die zugehörigen Wurzelräume sind

${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{\alpha _{12}}=\mathbb {C} {\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}},\ {\mathfrak {g}}_{\alpha _{21}}=\mathbb {C} {\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}}$.

Die Weyl-Gruppe ist die symmetrische Gruppe ${\displaystyle S_{2}}$.

• Darstellungstheorie der sl(2,C)

• Nicolas Perrin: The Lie Algebra ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$ PDF
• Abhinav Shrestha: Representations of semisimple Lie algebras PDF