Sekundäre charakteristische Klasse

Im mathematischen Gebiet der Differentialtopologie sind sekundäre charakteristische Klassen (wie die Cheeger-Chern-Simons-Klassen) Invarianten flacher Bündel.

Bekanntlich können verschiedene charakteristische Klassen

${\displaystyle c\in H^{k}(B;\mathbb {Z} )}$

von ${\displaystyle G}$-Prinzipalbündeln ${\displaystyle E\to B}$ mittels der Chern-Weil-Konstruktion durch invariante Polynome ${\displaystyle P\in I^{k}(G)}$ realisiert werden, d. h., es gibt ein invariantes Polynom ${\displaystyle P}$, so dass

${\displaystyle \left[P(\Omega )\right]=c_{\mathbb {R} }}$

für jedes ${\displaystyle G}$-Prinzipalbündel mit Zusammenhangsform ${\displaystyle \omega }$, wobei

${\displaystyle \Omega \in \Omega ^{2}(B)}$

die Krümmungsform des Zusammenhangs ${\displaystyle \omega }$, ${\displaystyle \left[P(\Omega )\right]}$ die De-Rham-Kohomologieklasse von

${\displaystyle P(\Omega )\in \Omega ^{2k}(B)}$,

und ${\displaystyle c_{\mathbb {R} }}$ das Bild der charakteristischen Klasse ${\displaystyle c}$ unter dem kanonischen Homomorphismus

${\displaystyle H^{k}(B;\mathbb {Z} )\to H^{k}(B;\mathbb {R} )}$

bezeichnet.

Für flache Bündel ist

${\displaystyle \Omega =0}$

und demzufolge verschwinden alle über die Chern-Weil-Konstruktion definierten charakteristischen Klassen, insbesondere Chern-Klassen und Pontrjagin-Klassen.

Die Cheeger-Chern-Simons-Konstruktion definiert nun zu jeder solchen charakteristischen Klasse, genauer zu jedem invarianten Polynom

${\displaystyle P\in I^{k}(G)}$

und jeder Kohomologieklasse

${\displaystyle c\in H^{2k}(B)}$

mit ${\displaystyle \left[P(\Omega )\right]=c_{\mathbb {R} }}$ einen Differentialcharakter

${\displaystyle {\hat {c}}\in {\widehat {H}}^{k}(B;\mathbb {R} /\mathbb {Z} )}$.

Die Kohomologiegruppe ${\displaystyle H^{k}(B;\mathbb {R} /\mathbb {Z} )}$ ist eine Untergruppe von ${\displaystyle {\widehat {H}}^{k}(B;\mathbb {R} /\mathbb {Z} )}$ und im Fall flacher Bündel liegt ${\displaystyle {\hat {c}}}$ in dieser Untergruppe. Die so definierte Kohomologieklasse

${\displaystyle {\hat {c}}\in H^{k}(B;\mathbb {R} /\mathbb {Z} )}$

heißt (die zur primären charakteristischen Klasse ${\displaystyle c}$ assoziierte) sekundäre charakteristische Klasse.

Anwendung des Bockstein-Homomorphismus ${\displaystyle H^{2k-1}(B;\mathbb {R} /\mathbb {Z} )\to H^{2k}(B;\mathbb {Z} )}$ bildet die sekundäre charakteristische Klasse ${\displaystyle {\hat {c}}}$ auf die charakteristische Klasse ${\displaystyle c}$ ab, deren Bild in ${\displaystyle H^{2k}(B;\mathbb {R} )}$ verschwindet.

Gegeben seien eine Lie-Gruppe ${\displaystyle G}$, ein invariantes Polynom ${\displaystyle P\in I^{k}(G)}$ und eine Kohomologieklasse ${\displaystyle u\in H^{2k}(BG)}$ mit ${\displaystyle w_{k}(P)=u_{\mathbb {R} }}$. Wir bezeichnen mit ${\displaystyle \delta \colon {\widehat {H}}^{2k-1}(B;\mathbb {R} /\mathbb {Z} )\to A_{0}^{2k}(B)}$ die Korand-Abbildung und mit ${\displaystyle b\colon {\widehat {H}}^{2k-1}(B;\mathbb {R} /\mathbb {Z} )\to H^{2k}(B;\mathbb {Z} )}$ den Bockstein-Homomorphismus.

Satz: Für jedes ${\displaystyle G}$-Prinzipalbündel ${\displaystyle p\colon E\to B}$ mit Zusammenhangsform ${\displaystyle \omega }$ gibt es einen eindeutigen Differentialcharakter

${\displaystyle S_{P,u}(p,\omega )\in {\widehat {H}}^{2k-1}(B;\mathbb {R} /\mathbb {Z} )}$

mit

• ${\displaystyle \delta S_{P,u}(p,\omega )=P(\Omega )}$
• ${\displaystyle bS_{P,u}(p,\omega )=f^{*}u}$,

so dass ${\displaystyle S_{P,u}(p,\omega )\in {\widehat {H}}^{2k-1}(B;\mathbb {R} /\mathbb {Z} )}$ unter Bündelabbildungen natürlich transformiert.

Ein Spezialfall ist die Konstruktion von Cheeger-Chern-Simons-Klassen.

Die Chern-Polynome ${\displaystyle C_{k}\in I^{k}(GL(n,\mathbb {C} ))}$ seien definiert durch die Relation

${\displaystyle \det(\lambda \,\mathrm {id} _{n}-{\frac {1}{2\pi i}}A)=\sum _{k=0}^{n}C_{k}(A,\ldots ,A)\lambda ^{n-k}}$

für alle ${\displaystyle A\in GL(n,\mathbb {C} )}$. Der universelle Chern-Weil-Homomorphismus

${\displaystyle w_{k}\colon I^{k}(G)\to H^{2k}(BG;\mathbb {R} )}$

bildet invariante Polynome auf Kohomologieklassen des klassifizierenden Raumes ${\displaystyle BG}$ ab.

Im Fall der Chern-Polynome gibt es die universellen Chern-Klassen ${\displaystyle c_{k}\in H^{2k}(BGL(n,\mathbb {C} );\mathbb {Z} )}$ und für diese gilt

${\displaystyle w_{k}(C_{k})=(c_{k})_{\mathbb {R} }}$.

Für ein ${\displaystyle GL(n,\mathbb {C} )}$-Prinzipalbündel ${\displaystyle p\colon E\to B}$ gibt es nun eine klassifizierende Abbildung ${\displaystyle f\colon B\to BGL(n,\mathbb {C} )}$ und die Chern-Klasse von ${\displaystyle p\colon E\to B}$ ist ${\displaystyle f^{*}c_{k}\in H^{2k}(B;\mathbb {Z} )}$. Für eine Zusammenhangsform ${\displaystyle \omega }$ definiert man nun

${\displaystyle {\hat {c}}_{k}(p,\omega ):=S_{C_{k},c_{k}}(p,\omega )\in {\widehat {H}}^{2k-1}(B;\mathbb {C} /\mathbb {Z} )}$.

Im Fall flacher Bündel ${\displaystyle p\colon E\to B}$ erhält man die Cheeger-Chern-Simons-Klassen

${\displaystyle {\hat {c}}_{k}(p)\in H^{2k-1}(B;\mathbb {C} /\mathbb {Z} )}$.

Falls ${\displaystyle B}$ eine ${\displaystyle (2k-1)}$-dimensionale geschlossene orientierbare Mannigfaltigkeit ist, erhält man die Cheeger-Chern-Simons-Invariante

${\displaystyle CCS(p):=\langle {\hat {c}}_{k}(p),\left[M\right]\rangle \in \mathbb {C} /\mathbb {Z} }$

des flachen Bündels ${\displaystyle p\colon E\to B}$ durch Anwenden der Cheeger-Chern-Simons-Klasse auf die Fundamentalklasse ${\displaystyle \left[M\right]\in H_{2k-1}(M;\mathbb {Z} )}$.

• Cheeger, Simons: Differential characters and geometric invariants. Geometry and topology (College Park, Md., 1983/84), 50–80, Lecture Notes in Math., 1167, Springer, Berlin, 1985. pdf
• Dupont, Hain, Zucker: Regulators and characteristic classes of flat bundles. The arithmetic and geometry of algebraic cycles (Banff, AB, 1998), 47–92, CRM Proc. Lecture Notes, 24, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2000.

• Kapitel 3.2 in Bucher: Characteristic classes and bounded cohomology