Seiberg-Witten-Invariante

In der Mathematik sind die Seiberg-Witten-Invarianten wichtige Invarianten differenzierbarer 4-Mannigfaltigkeiten. Zu ihren Anwendungen gehören der Beweis der Thom-Vermutung oder der Nichtexistenz von Metriken positiver Skalarkrümmung, Zerlegungen als zusammenhängender Summe oder symplektischer Strukturen auf verschiedenen 4-Mannigfaltigkeiten. Weiterhin können sie verschiedene Differentialstrukturen auf topologischen 4-Mannigfaltigkeiten unterscheiden.

Sei ${\displaystyle M}$ eine kompakte differenzierbare 4-Mannigfaltigkeit mit einer Riemannschen Metrik ${\displaystyle g}$ und einer Spin^c-Struktur ${\displaystyle {\mathfrak {s}}}$. Letztere besteht insbesondere aus komplexen Ebenenbündeln ${\displaystyle W^{\pm }\twoheadrightarrow M}$, genannt assoziierte Spinorbündel (deren Schnitte (anti)selbstduale Spinoren genannt werden), mit gleichem Determinantenbündel ${\displaystyle L=\det(W^{\pm })\twoheadrightarrow M}$. Da das Determinantenbündel die erste Chern-Klasse erhält, haben alle Vektorbündel die gleiche erste Chern-Klasse ${\displaystyle c_{1}({\mathfrak {s}}):=c_{1}(L)=c_{1}(W^{\pm })}$ mit ${\displaystyle c_{1}({\mathfrak {s}})\operatorname {mod} 2=w_{2}(M)}$.

Für eine generische selbst-duale 2-Form ${\displaystyle \eta }$ ist der Seiberg-Witten-Modulraum ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ der Lösungen der gestörten Seiberg-Witten-Gleichungen eine kompakte, orientierbare Mannigfaltigkeit der Dimension

${\displaystyle i({\mathfrak {s}}):={\frac {1}{4}}(c_{1}(L)^{2}-2\chi (M)-3\operatorname {sign} (M))}$.

Die Eichgruppe ${\displaystyle {\mathcal {G}}=\operatorname {Map} (M,S^{1})}$ und ihre Untergruppe ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}=\left\{u\in {\mathcal {G}}\colon u(x_{0})=1\right\}}$ wirken auf ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$. Der Quotientenraum ${\displaystyle {\mathcal {M}}/{\mathcal {G}}_{0}}$ ist ein U(1)-Hauptfaserbündel über ${\displaystyle {\mathcal {M}}/{\mathcal {G}}}$. Sei ${\displaystyle e\in H^{2}({\mathcal {M}}/{\mathcal {G}};\mathbb {Z} )}$ seine Eulerklasse.

Wenn ${\displaystyle b_{2}^{+}(M)-b_{1}(M)}$ ungerade ist, dann ist die Dimension von ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ eine gerade Zahl ${\displaystyle i(L)=2d}$. Man definiert dann mithilfe der Kronecker-Paarung:

${\displaystyle \operatorname {SW} (M,{\mathfrak {s}};g,\eta ):=\langle e^{d},[{\mathcal {M}}]\rangle \in \mathbb {Z} .}$

Häufig wird auch eine von der Dimension des Seiberg-Witten-Modulraumes unabhängige Darstellung angegeben. Wenn die Kronecker-Paarung auf den gesamten Kohomologiering ${\displaystyle H^{*}({\mathcal {M}},\mathbb {Z} ):=H^{0}({\mathcal {M}},\mathbb {Z} )\oplus H^{1}({\mathcal {M}},\mathbb {Z} )\oplus \ldots }$ fortgesetzt wird, indem nur die Kohomologieklasse im gleichen Grad wie die Homologieklasse beachtet und alle anderen ignoriert werden, lässt sich einfach eine Summe sämtlicher Potenzen der Euler-Klasse betrachten. Mit der formalen Darstellung ${\displaystyle (1-e)^{-1}=1+e+e^{2}+\ldots }$ aus der geometrischen Reihe lässt dann selbst für ungerade Dimensionen des Seiberg-Witten-Modulraumes schreiben:

${\displaystyle \operatorname {SW} (M,{\mathfrak {s}};g,\eta ):=\langle (1-e)^{-1},[{\mathcal {M}}]\rangle \in \mathbb {Z} .}$

Für ${\displaystyle b_{2}^{+}(M)\geq 2}$ hängt die Invariante weder von der Riemannschen Metrik ${\displaystyle g}$ noch der Störung ${\displaystyle \eta }$ ab und wird als Seiberg-Witten-Invariante ${\displaystyle \operatorname {SW} (M,{\mathfrak {s}})}$ bezeichnet.^[1] Mit dem Raum ${\displaystyle \operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(M)\cong H^{2}(M,\mathbb {Z} )}$ aller Spin^c-Strukturen wird die Seiberg-Witten-Invariante in diesem Fall zu einer Abbildung ${\displaystyle \operatorname {SW} \colon \operatorname {Spin} ^{\mathrm {c} }(M)\cong H^{2}(M,\mathbb {Z} )\rightarrow \mathbb {Z} }$. Eine ähnliche Abbildung ist mit der Wahl einer Fundamentalklasse ${\displaystyle [M]\in H_{4}(M,\mathbb {Z} )\cong \mathbb {Z} }$, nämlich einem Generator, die Diagonale der zur Klassifikation von 4-Mannigfaltigkeiten essentielle Schnittform ${\displaystyle H^{2}(M,\mathbb {Z} )\rightarrow \mathbb {Z} ,c\mapsto \langle c^{2},[M]\rangle }$.

Im Folgenden sei stets ${\displaystyle b_{2}^{+}(M)-b_{1}(M)}$ ungerade und ${\displaystyle b_{2}^{+}(M)\geq 2}$. Eine Kohomologieklasse ${\displaystyle c\in H^{2}(M;\mathbb {Z} )}$ heißt Basisklasse, wenn es eine Spin^c-Struktur ${\displaystyle {\mathfrak {s}}}$ mit ${\displaystyle c_{1}(L)=c}$ und ${\displaystyle \operatorname {SW} (M,{\mathfrak {s}})\not =0}$ gibt.

• Wenn ${\displaystyle f\colon M_{1}\to M_{2}}$ ein orientierungserhaltender Diffeomorphismus ist, dann ist:^[1]

  ${\displaystyle \operatorname {SW} (M_{1},f^{*}{\mathfrak {s}})=\operatorname {SW} (M,{\mathfrak {s}}).}$

• Für jede Basisklasse ${\displaystyle c}$ gilt:

  ${\displaystyle c\cdot c\geq 2\chi (M)+3\operatorname {sign} (M).}$

• Für die duale Spin^c-Struktur ${\displaystyle {\mathfrak {s}}^{*}}$ gilt:

  ${\displaystyle \operatorname {SW} (M,{\mathfrak {s}}^{*})=(-1)^{\frac {\chi (M)+\operatorname {sign} (M)}{4}}\operatorname {SW} (M,{\mathfrak {s}}).}$

• ${\displaystyle M}$ hat nur endlich viele Basisklassen.
• Wenn ${\displaystyle M}$ eine Metrik positiver Skalarkrümmung besitzt, dann gilt ${\displaystyle \operatorname {SW} (M,{\mathfrak {s}})=0}$ für alle ${\displaystyle {\mathfrak {s}}}$.^[2]
• Wenn ${\displaystyle M=X\sharp Y}$ für kompakte, orientierbare, glatte 4-Mannigfaltigkeiten ${\displaystyle X,Y}$ mit ${\displaystyle b_{2}^{+}>0}$, dann gilt ${\displaystyle \operatorname {SW} (M,{\mathfrak {s}})=0}$ für alle ${\displaystyle {\mathfrak {s}}}$.^[3]
• Wenn ${\displaystyle b_{1}(X)=b_{2}^{+}(X)=0}$ gilt und für eine Spin^c-Struktur ${\displaystyle {\mathfrak {s}}_{X}}$ mit ${\displaystyle c_{1}=c_{X}}$ die Ungleichung ${\displaystyle c\cdot c-2\chi (M)-3\operatorname {sign} (M)+c_{X}\cdot c_{X}+b_{2}(X)\geq 0}$ gilt, dann ist ${\displaystyle \operatorname {SW} (M,{\mathfrak {s}})=\operatorname {SW} (M\sharp X,{\mathfrak {s}}\sharp {\mathfrak {s}}_{X})}$.
• Für eine eingebettete, kompakte, orientierbare Fläche ${\displaystyle \Sigma \subset M}$ des Geschlechts ${\displaystyle g(\Sigma )}$ gilt ${\displaystyle 2g(\Sigma )-2\geq \Sigma \cdot \Sigma +\vert c\cdot \Sigma \vert }$ für jede Basisklasse ${\displaystyle c}$.^[4]
• Wenn ${\displaystyle M}$ eine symplektische Mannigfaltigkeit mit kanonischer Spin^c-Struktur ${\displaystyle {\mathfrak {s}}_{can}}$ ist, dann ist ${\displaystyle \operatorname {SW} (M,{\mathfrak {s}}_{can})=1}$.

• Seiberg-Witten invariant auf nLab (englisch)

• John Morgan: Lectures on Seiberg-Witten invariants, Lecture Notes in Mathematics, 1629 (2nd ed.), Berlin: Springer-Verlag, ISBN 3-540-41221-2
• Liviu Nicolaescu: Notes on Seiberg-Witten theory, Graduate Studies in Mathematics, 28, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 0-8218-2145-8
• Alexandru Scorpan: The wild world of 4-manifolds, American Mathematical Society, ISBN 978-0-8218-3749-8

• Dietmar Salamon: Spin geometry and Seiberg-Witten invariants

1. ↑ ^{a b} Nicolaescu 2000, Theorem 2.3.5
2. ↑ Nicolaescu 2000, Corollary 2.3.8
3. ↑ Nicolaescu 2000, Theorem 4.6.1
4. ↑ Nicolaescu 2000, Remark 4.6.13