Schnirelmann-Dichte

Die Schnirelmann-Dichte soll in der additiven Zahlentheorie die „Dichtheit“ einer Folge quantifizieren. Sie ist stets wohldefiniert, auch wenn die asymptotische Dichte einer Folge nicht existiert.

Sei ${\displaystyle A\subseteq \mathbb {N} }$ eine Menge natürlicher Zahlen und ${\displaystyle A_{\leq n}=\{a\in A|a\leq n\}}$. Dann ist ihre Schnirelmann-Dichte

${\displaystyle \sigma A=\inf _{n\to \infty }{\frac {\left|A_{\leq n}\right|}{n}}}$.

Aus der Definition folgt

${\displaystyle \sigma A=0\Rightarrow \forall \epsilon >0\ \exists n.\left|A_{\leq n}\right|<\epsilon n}$

und

${\displaystyle \forall k.k\notin A\Rightarrow \sigma A\leq 1-1/k}$.

Es gilt also insbesondere

${\displaystyle 1\notin A\Rightarrow \sigma A=0}$ und

${\displaystyle 2\notin A\Rightarrow \sigma A\leq {\frac {1}{2}}}$.

Damit sind die Schnirelmann-Dichten der geraden und ungeraden Zahlen jeweils ${\displaystyle 0}$ und ${\displaystyle \textstyle {\frac {1}{2}}}$.

Dieser Satz wurde 1942 von Henry Mann bewiesen:

Seien ${\displaystyle A,B}$ Mengen natürlicher Zahlen und ${\displaystyle A\oplus B:=(A\cup \{0\})+(B\cup \{0\})}$. Dann gilt:

${\displaystyle \sigma (A\oplus B)\geq \min(1,\sigma A+\sigma B).}$

Sei ${\displaystyle {\mathfrak {G}}^{k}=\{i^{k}\}_{i=1}^{\infty }}$. Dann lässt sich das waringsche Problem wie folgt formulieren:

Für jedes ${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$ existiert ein ${\displaystyle N(k)}$, sodass ${\displaystyle \sigma (N{\mathfrak {G}}^{k}={\mathfrak {G}}^{k}\oplus \cdot \cdot \cdot \oplus {\mathfrak {G}}^{k})=1}$.

Jede natürliche Zahl lässt sich also als Summe aus ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle k}$-Potenzen darstellen.

• Lew Schnirelmann: Über additive Eigenschaften von Zahlen. Math. Ann. 107, 649–690 (1933)
• Henry Mann: A proof of the fundamental theorem on the density of sums of sets of positive integers. Ann. math. 43, 43, 523–527 (1942)