Satz von Varignon

Der Satz von Varignon (auch als Satz vom Mittenviereck bezeichnet) beschreibt in der Geometrie eine Eigenschaft von Vierecken. Namensgeber ist Pierre de Varignon (1654–1722), der diesen Lehrsatz als erster publizierte.

Wenn man die Mittelpunkte benachbarter Seiten eines Vierecks verbindet, dann erhält man ein Parallelogramm, welches (auch) als Varignon-Parallelogramm bezeichnet wird.^{[A 1]}

Sei ${\displaystyle ABCD}$ ein Viereck und seien ${\displaystyle E,F,G,H}$ die Mittelpunkte der Seiten (siehe Abbildung). Betrachte das Dreieck ${\displaystyle ABC}$. Nimmt man ${\displaystyle B}$ als Streckzentrum einer zentrischen Streckung, werden ${\displaystyle A}$ auf ${\displaystyle E}$ und ${\displaystyle C}$ auf ${\displaystyle F}$ mit Streckfaktor ½ abgebildet. Nach den Abbildungseigenschaften der zentrischen Streckung – Bildgerade und Urgerade sind parallel – folgt ${\displaystyle AC\parallel EF}$. Ebenso zeigt man, dass auch ${\displaystyle AC\parallel GH}$. Per Transitivität der Parallelitätsrelation folgt ${\displaystyle EF\parallel HG}$. Auf analoge Weise zeigt man, dass auch die beiden anderen Seiten des Mittenvierecks parallel zueinander sind. Das Viereck ${\displaystyle EFGH}$ besteht also aus zwei Paaren paralleler Seiten, was der Definition eines Parallelogramms entspricht.

Der Umfang des Varignon-Parallelogramms ist genau so groß wie die Summe der Diagonalenlängen im Ursprungsviereck, und die Fläche des Varignon-Parallelogramms ist halb so groß wie die Fläche des Ursprungsvierecks.

Der varignonsche Satz gilt auch für jedes beliebige Viereck im Anschauungsraum, also unabhängig davon, ob ein ebenes Viereck oder ein konvexes Viereck vorliegt. Ebenso gilt stets die oben genannte erste Folgerung.^[1]

Darüber hinaus gilt noch der folgende Zusatz:^[2]

In einem konvexen Viereck halbiert der Schnittpunkt der beiden Verbindungsstrecken zwischen den jeweils einander gegenüberliegenden Seitenmitten stets die Verbindungsstrecke zwischen den Mittelpunkten der beiden Diagonalen.^{[A 2]}

• Satz von Commandino
• Diagonalensatz
• Varignon'scher Apparat

• Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Bezaubernde Beweise: Eine Reise durch die Eleganz der Mathematik. Aus dem Englischen übersetzt von Thomas Filk. Springer Spektrum, Berlin, Heidelberg 2013, ISBN 978-3-642-34792-4, S. 125 ff. 
• Fachredaktion des Bibliographischen Instituts (Hrsg.): Duden Rechnen und Mathematik: Das Lexikon für Schule und Praxis. Bearbeitet von Prof. Dr. Harald Scheid. 4. Auflage. Bibliographisches Institut, Mannheim, Wien, Zürich 1985, S. 652–653. 
• Siegfried Krauter, Christine Bescherer: Erlebnis Elementargeometrie: Ein Arbeitsbuch zum selbstständigen und aktiven Entdecken. Springer, 2012, ISBN 978-3-8274-3025-0, S. 76-77
• H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer: Geometry Revisited. MAA, Washington 1967, S. 52–54
• Peter N. Oliver: Pierre Varignon and the Parallelogram Theorem (PDF; 194 kB) In: Mathematics Teacher, Band 94, Nr. 4, April 2001, S. 316–319
• Peter N. Oliver: Consequences of Varignon Parallelogram Theorem (PDF; 559 kB) In: Mathematics Teacher, Band 94, Nr. 5, Mai 2001, S. 406–408

• Eric W. Weisstein: Varignon’s Theorem. In: MathWorld (englisch).
• Varignon-Parallelogram in Compendium Geometry (englisch)
• Satz von Varignon bei Matroids Matheplanet
• Varignon parallelogram auf cut-the-knot-org

1. ↑ Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Bezaubernde Beweise: Eine Reise durch die Eleganz der Mathematik. Springer Spektrum 2013, S. 125–126
2. ↑ Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: Bezaubernde Beweise: Eine Reise durch die Eleganz der Mathematik. Springer Spektrum 2013, S. 126–127

1. ↑ Kurz gesagt gilt also: In einem Viereck ist das Mittenviereck stets ein Parallelogramm.
2. ↑ Ist im Grenzfall das vorliegende konvexe Viereck selbst schon ein Parallelogramm, so besteht nach dem Diagonalensatz die zuletzt genannte Verbindungsstrecke aus einem einzigen Punkt, welcher dann mit dem genannten Schnittpunkt und dem gemeinsamen Mittelpunkt der beiden Diagonalen zusammenfällt und zugleich das Symmetriezentrum bildet.