Satz von Roth

Der Satz von Roth ist ein Lehrsatz aus dem mathematischen Gebiet der Zahlentheorie. Er besagt, dass es in bestimmten Teilmengen der ganzen Zahlen unendlich viele arithmetische Folgen der Länge ${\displaystyle 3}$ gibt. Er wurde später durch den Satz von Szemerédi verallgemeinert.

Es sei ${\displaystyle A\subset \mathbb {Z} }$ eine Teilmenge der ganzen Zahlen mit positiver oberer Dichte:

${\displaystyle \lim _{N\to \infty }{\frac {\sharp (A\cap \left[-N,N\right])}{2N+1}}>0}$,

dann gibt es in ${\displaystyle A}$ unendlich viele arithmetische Folgen der Länge ${\displaystyle 3}$, also der Form

${\displaystyle \left\{a,a+r,a+2r\right\}\subset A}$

mit ${\displaystyle a\in \mathbb {Z} ,r\in \mathbb {N} _{>0}}$.

Es sei ${\displaystyle N}$ eine ungerade Zahl und ${\displaystyle G=\mathbb {Z} /N\mathbb {Z} }$. Dann gibt es zu jedem ${\displaystyle \alpha \in \left(0,1\right)}$ ein ${\displaystyle c_{\alpha }>0}$, so dass für alle Mengen ${\displaystyle A\subset \mathbb {Z} /N\mathbb {Z} }$ mit ${\displaystyle \sharp A\geq \alpha N}$ die Ungleichung

${\displaystyle \sharp \left\{x,r\in \mathbb {Z} /N\mathbb {Z} \colon x,x+r,x+2r\in A\right\}\geq c_{\alpha }N^{2}}$

gilt.^[1]

Dieser Satz gilt allgemeiner für 2-teilbare Gruppen^[2]: Es sei ${\displaystyle G}$ eine kompakte 2-teilbare abelsche Gruppe mit Haarschem Wahrscheinlichkeitsmaß ${\displaystyle \mu }$, dann gibt es zu jedem ${\displaystyle \alpha \in \left(0,1\right)}$ ein ${\displaystyle c_{\alpha }>0}$, so dass für jede messbare Menge ${\displaystyle A\subset G}$ mit ${\displaystyle \mu (A)\geq \alpha }$ die Ungleichung

${\displaystyle \int _{G}\int _{G}1_{A}(x)1_{A}(x+r)1_{A}(x+2r)\,\mathrm {d} \mu (x)\mathrm {d} \mu (r)\geq c_{\alpha }}$

gilt.

Eine stärkere Form ist der Satz von Roth-Khintschin.

• Klaus Friedrich Roth: On certain sets of integers. J. London Math. Soc. 28, (1953). 104–109.

• A proof of Roth's Theorem
• Roth's Theorem
• Roth's Theorem on 3-term Arithmetic Progressions
• Roth's Theorem: the Fourier Analytic Approach

1. ↑ Varnavides: On certain sets of positive density. J. London Math. Soc. 34 1959 358–360.
2. ↑ Meshulam: On subsets of finite abelian groups with no 3-term arithmetic progressions. J. Combin. Theory Ser. A 71 (1995), no. 1, 168–172.