Satz von Lüroth

Der Satz von Lüroth ist ein Resultat aus der Algebra. Er wurde von Jacob Lüroth im Jahre 1875 publiziert.

Sei ${\displaystyle L}$ eine rein transzendente Erweiterung des Körpers ${\displaystyle K}$ vom Transzendenzgrad 1. Ist ${\displaystyle P}$ ein Zwischenkörper, der von ${\displaystyle K}$ verschieden ist, so ist ${\displaystyle P}$ ebenfalls rein transzendent vom Transzendenzgrad 1. Insbesondere ist ${\displaystyle P}$ isomorph zu ${\displaystyle L}$.

Ein Beweis dazu findet sich bei Ernst Steinitz: Algebraische Theorie der Körper (1910, Seite 302).^[1][2]

Äquivalent kann man den Satz von Lüroth auch so formulieren: Sei ${\displaystyle K}$ ein Körper und ${\displaystyle L=K(x)}$ der Körper der rationalen Funktionen über ${\displaystyle K}$, also der Quotientenkörper des Polynomrings ${\displaystyle K[x]}$. Ist ${\displaystyle P}$ ein Zwischenkörper, der von ${\displaystyle K}$ verschieden ist, so ist ${\displaystyle P=K(t)}$ für ein Element ${\displaystyle t}$ von ${\displaystyle L}$. Dieses Element ${\displaystyle t}$ ist immer transzendent über ${\displaystyle K}$, wohingegen ${\displaystyle L}$ immer algebraisch über ${\displaystyle P}$ ist.

Eine weitere äquivalente Formulierung in der Sprache der algebraischen Geometrie besagt, dass unirationale Kurven rational sind.

Die Frage, ob der Satz von Lüroth auch für Körper vom Transzendenzgrad größer als Eins gilt, ist als Lüroth-Problem bekannt. Im Allgemeinen ist das nicht der Fall. Ein Überblick über Teilergebnisse und Gegenbeispiele findet man bei Nathan Jacobson.^[3]

• Jacob Lüroth: Beweis eines Satzes über rationale Curven. In: Math. Ann. Band 9, 1875, S. 163–165. 
• Ernst Steinitz: Algebraische Theorie der Körper. In: Kurt Hensel et al. (Hrsg.): Journal für die reine und angewandte Mathematik. Band 137, 4. Heft. de Gruyter, 1910, ISSN 0075-4102, S. 167–309, hier S. 302 (uni-goettingen.de [PDF; 251 kB; abgerufen am 15. Juni 2025]).  direkt zum Artikel (PDF)
• Nathan Jacobson: Basic Algebra II. 2. Auflage. W. H. Freeman, San Fracisco 1989, Section 8.14, S. 520–525. 
• Bartel Leendert van der Waerden: Algebra I. unter Benutzung von Vorlesungen von E. Artin und E. Noether. (= Heidelberger Taschenbücher. Band 12). 8.  Auflage. 1971, ISBN 3-540-03561-3, Kapitel X Unendliche Körpererweiterungen, § 73 Einfache transzendente Erweiterungen, S. 221–224 (272 S.). 

1. ↑ Ernst Steinitz: Algebraische Theorie der Körper. In: Journal für die reine und angewandte Mathematik. Band 137. de Gruyter, 1910, ISSN 0075-4102, S. 167–309 (digizeitschriften.de). 
2. ↑ Siehe auch Bartel Leendert van der Waerden: Algebra I. unter Benutzung von Vorlesungen von E. Artin und E. Noether. (= Heidelberger Taschenbücher. Band 12). 8.  Auflage. 1971, ISBN 3-540-03561-3, Kapitel X Unendliche Körpererweiterungen, § 73 Einfache transzendente Erweiterungen, S. 221–224 (272 S.). 
3. ↑ Nathan Jacobson: Basic Algebra II. 2. Auflage. W. H. Freeman, San Fracisco 1989, Section 8.14, S. 520–525.