Satz von Komlós

Der Satz von Komlós ist ein Theorem aus der Stochastik und der Analysis über die Cesàro-Konvergenz einer Teilfolge von Zufallsvariablen (resp. Funktionen) sowie ihrer Teilfolgen zu einer integrierbaren Zufallsvariable (resp. Funktion).

Der Satz wurde 1967 von dem ungarisch-amerikanischen Mathematiker János Komlós bewiesen.^[1] 1970 bewies Srishti D. Chatterji eine Verallgemeinerung für allgemeine Maßräume.^[2]

Sei ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ein Wahrscheinlichkeitsraum und ${\displaystyle \xi _{1},\xi _{2},\dots }$ eine darauf existierende Folge von reellwertigen Zufallsvariablen mit ${\displaystyle \sup \limits _{n}\mathbb {E} [|\xi _{n}|]<\infty .}$

Dann existierten eine Zufallsvariable ${\displaystyle \psi \in L^{1}(P)}$ und eine Teilfolge ${\displaystyle (\eta _{k})=(\xi _{n_{k}})}$, so dass für jede beliebige Teilfolge ${\displaystyle ({\tilde {\eta }}_{n})=(\eta _{k_{n}})}$ gilt, wenn ${\displaystyle n\to \infty }$, dann

${\displaystyle {\frac {({\tilde {\eta }}_{1}+\cdots +{\tilde {\eta }}_{n})}{n}}\to \psi }$

${\displaystyle P}$-fast sicher.

Sei ${\displaystyle (E,{\mathcal {A}},\mu )}$ ein endlicher Maßraum und ${\displaystyle f_{1},f_{2},\dots }$ eine reelle Folge in ${\displaystyle L^{1}(\mu )}$ mit ${\displaystyle \sup \limits _{n}\int _{E}|f_{n}|\mathrm {d} \mu <\infty }$. Dann existierten eine Funktion ${\displaystyle \upsilon \in L^{1}(\mu )}$ und eine Teilfolge ${\displaystyle (g_{k})=(f_{n_{k}})}$, so dass für jede beliebige Teilfolge ${\displaystyle ({\tilde {g}}_{n})=(g_{k_{n}})}$ gilt, wenn ${\displaystyle n\to \infty }$, dann

${\displaystyle {\frac {({\tilde {g}}_{1}+\cdots +{\tilde {g}}_{n})}{n}}\to \upsilon }$

${\displaystyle \mu }$-fast überall.

Das Theorem sagt, dass sowohl die Folge ${\displaystyle (\eta _{k})}$ als auch ihre Teilfolgen im Cesàro-Mittel fast sicher gegen ${\displaystyle \psi }$ konvergieren.

Von Srishti D. Chatterji stammt folgende Verallgemeinerung für allgemeine Maßräume:

Sei ${\displaystyle (S,{\mathcal {A}},\mu )}$ ein Maßraum und ${\displaystyle f_{1},f_{2},\dots }$ eine Folge, so dass für alle ${\displaystyle f_{i}\in L^{p}(S,{\mathcal {A}},\mu )}$ mit ${\displaystyle 0<p<2}$ und

${\displaystyle \sup \limits _{n}\int _{S}|f_{n}|^{p}\mathrm {d} \mu <\infty .}$

Dann existieren eine Teilfolge ${\displaystyle (g_{k})=(f_{n_{k}})}$ und eine Funktion ${\displaystyle \varphi \in L^{p}}$, so dass für jede beliebige Teilfolge ${\displaystyle ({\tilde {g}}_{n})=(g_{k_{n}})}$ gilt, wenn ${\displaystyle n\to \infty }$, dann

${\displaystyle {\frac {({\tilde {g}}_{1}+\cdots +{\tilde {g}}_{n})}{n^{1/p}}}\to \varphi }$

fast überall.

Weiter gilt falls ${\displaystyle 0<p<1}$, dann ist ${\displaystyle \varphi \equiv 0}$ immer eine mögliche Wahl.

Im Allgemeinen kann die Teilfolge ${\displaystyle (g_{k})=(f_{n_{k}})}$ nicht so gewählt werden, dass ${\displaystyle L^{p}}$-Konvergenz gilt. Diese gilt aber, wenn eine Teilfolge ${\displaystyle (h_{k})=(f_{n_{k}})}$ existiert, so dass ${\displaystyle \{|h_{k}|^{p}\}\subset L^{1}}$ schwach folgenkompakt ist. Letzteres bedeutet im Falle wenn ${\displaystyle \mu }$ endlich ist, dass ${\displaystyle (h_{k})}$ eine gleichmäßig integrierbare Familie ist, d. h.

${\displaystyle \lim \limits _{N\to \infty }\int _{\{|h|>N\}}|h|^{p}\mathrm {d} \mu =0}$

gleichmäßig für ${\displaystyle h\in (h_{k})}$.^[3]

1. ↑ János Komlós: A Generalisation of a Problem of Steinhaus. In: Acta Mathematica Academiae Scientiarum Hungaricae. Band 18, Nr. 1, 1967, doi:10.1007/BF02020976. 
2. ↑ S. D. Chatterji: A general strong law. In: Inventiones Mathematicae. Band 9, 1970, S. 235–245, doi:10.1007/BF01404326. 
3. ↑ S. D. Chatterji: A general strong law. In: Inventiones Mathematicae. Band 9, 1970, S. 235, doi:10.1007/BF01404326.