Satz von Alexander (mengentheoretische Topologie)

Der Satz von Alexander ist ein mathematischer Satz in der mengentheoretischen Topologie. Er liefert ein vereinfachtes Kriterium zur Überprüfung der Existenz von endlichen Teilüberdeckungen mit offenen Mengen in topologischen Räumen und vereinfacht somit den Nachweis von Kompaktheit.

Der Satz wurde von James Waddell Alexander II gezeigt und wird im Englischen auch als Alexander subbasis/subbase lemma/theorem (Alexander'sches Subbasis-Lemma/Theorem) bezeichnet.^[1][2][3]

Gegeben sei ein topologischer Raum ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}})}$ und sei ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ eine Subbasis der Topologie.

Dann sind − unter der Annahme der Gültigkeit des Auswahlaxioms − äquivalent :^{[AuH 1][AuH 2]}

• Zu jeder Überdeckung von ${\displaystyle X}$ mit Mengen von ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$ existiert eine endliche Teilüberdeckung.

• Zu jeder Überdeckung von ${\displaystyle X}$ mit Mengen von ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ existiert eine endliche Teilüberdeckung.

Insbesondere genügt es also, Kompaktheit mit den Mengen der Subbasis zu überprüfen.

• K. P. Grotemeyer: Topologie (= BI-Hochschultaschenbücher. Band 836). Bibliographisches Institut, Mannheim, Wien, Zürich 1969, ISBN 3-411-00836-9 (zbMATH Open). 
• M. G. Murdeshwar: Alexander’s subbasis theorem. In: Nieuw Archief voor Wiskunde. Derde Serie. Band 27, 1979, S. 116–117 (Eintrag zbMATH Open). 
• Boto von Querenburg: Mengentheoretische Topologie. 3. Auflage. Springer-Verlag, Berlin Heidelberg New York 2001, ISBN 978-3-540-67790-1, S. 106–107, Satz 8.4, doi:10.1007/978-3-642-56860-2. 
• Steven Roman: Lattices and Ordered Sets. Springer, 2008, ISBN 978-0-387-78900-2, doi:10.1007/978-0-387-78901-9. 
• Javier Ríos Valledepaz: The Alexander subbase theorem for minimal Hausdorff spaces. In: Acta Cientifica Venezolana. Band 39, 1988, S. 313–314 (Eintrag zbMATH Open). 
• Stephen Willard: General Topology (= Addison-Wesley Series in Mathematics). Addison-Wesley, Reading, Massachusetts (u. a.) 1970 (Eintrag zbMATH Open). 

1. ↑ Roman: Lattices and Ordered Sets. 2008, S. 279.
2. ↑ Willard: Topology. 1970, S. 229.
3. ↑ Murdeshwar: Alexander’s subbasis theorem. 1979, Nieuw Arch. Wiskd., III. Ser. 27, S. 116–117

1. ↑ In dem Buch von Grotemeyer wird diese Äquivalenz unter Benutzung des Zorn'schen Lemmas hergeleitet. S. ebda., Satz 74, S. 118−120! Grotemeyer erwähnt dabei allerdings nicht die Zuschreibung des Satzes an Alexander.
2. ↑ Dem Buch von Willard zufolge lässt sich mit dem Alexander'schen Subbasis−Theorem sogar der Satz von Tychonoff folgern. S. ebda., Übung 17S, S. 129! In Grotemeyers Buch wird dieser Beweis explizit geführt. S. ebda., Satz 81, S. 130−131!