Ramanujansche Phi-Funktion

Die Ramanujan-Phifunktion ${\displaystyle f\colon \mathbb {R} \times \mathbb {N} \to \mathbb {R} }$ ist nach Srinivasa Ramanujan durch

${\displaystyle \varphi (a,n)=1+2\sum _{k=1}^{n}{1 \over (ak)^{3}-ak}}$

mit ${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$, ${\displaystyle a,k\neq 0}$, ${\displaystyle ak\neq \pm 1}$ und ${\displaystyle n\geq 1}$ definiert.

Für die Reihe ergibt sich explizit:

${\displaystyle \varphi (a,n)=1+2{1 \over a^{3}-a}+2{1 \over 8a^{3}-2a}+2{1 \over 27a^{3}-3a}+\ldots +2{1 \over (an)^{3}-a\cdot n}}$

Sei die harmonische Funktion mithilfe der Funktion ${\displaystyle H_{n}=\sum _{k=1}^{n}{1 \over k}=\gamma +\psi _{0}(n+1),n\geq 1}$ definiert.^[1] Infolge kann die Ramanujan-Phifunktion dargestellt werden durch:

${\displaystyle \varphi (a,n)=1-{1 \over a}(H_{-1/a}+H_{1/a}+2H_{n}-H_{n-1/a}-H_{n+1/a})}$

Sei ${\displaystyle \varphi (a)}$ der Grenzwert der Ramanujan-Phifunktion für ${\displaystyle n\to \infty }$. Vereinfacht gilt:^[2]

${\displaystyle \varphi (a)=\lim _{n\to \infty }\varphi (a,n)=1+2\sum _{k=1}^{\infty }{1 \over (ak)^{3}-ak}=-{1 \over a}\left(\psi _{0}\left({1 \over a}\right)+\psi _{0}\left(1-{1 \over a}\right)+2\gamma \right)=1-{1 \over a}(H_{1/a}+H_{1/a})}$.

Dabei ist ${\displaystyle \psi _{0}}$ die Digamma-Funktion und ${\displaystyle \gamma }$ die Euler-Mascheroni-Konstante.

Funktionswerte der Ramanujan-Phifunktion für ${\displaystyle 1<A\leq 6}$:^[2]

a	${\displaystyle \varphi (a)}$
2	${\displaystyle 2\ln(2)}$
3	${\displaystyle \ln(3)}$
4	${\displaystyle {3 \over 2}\ln(2)}$
5	${\displaystyle {1 \over 5}{\sqrt {5}}\ln(\phi )+{1 \over 2}\ln(5)}$
6	${\displaystyle {1 \over 2}\ln(3)+{2 \over 3}\ln(2)}$

Dabei ist ${\displaystyle \phi ={1+{\sqrt {5}} \over 2}}$ der Goldene Schnitt.

1. ↑ Eric W. Weisstein: Harmonic Number. Abgerufen am 30. Mai 2019 (englisch). 
2. ↑ ^{a b} Eric W. Weisstein: Ramanujan phi-Function. Abgerufen am 30. Mai 2019 (englisch).