Quartische Primzahl

In der Zahlentheorie ist eine quartische Primzahl (vom englischen quartan prime) eine Primzahl der Form ${\displaystyle p=x^{4}+y^{4}}$ mit ganzzahligen ${\displaystyle x>0}$ und ${\displaystyle y>0}$.

• Die Zahl ${\displaystyle 2=1+1=1^{4}+1^{4}}$ ist eine quartische Primzahl.
• Die Zahl ${\displaystyle 97=16+81=2^{4}+3^{4}}$ ist eine quartische Primzahl.
• Die kleinsten quartischen Primzahlen lauten:

2, 17, 97, 257, 337, 641, 881, 1297, 2417, 2657, 3697, 4177, 4721, 6577, 10657, 12401, 14657, 14897, 15937, 16561, 28817, 38561, 39041, 49297, 54721, 65537, 65617, 66161, 66977, 80177, 83537, 83777, 89041, 105601, 107377, 119617, 121937, … (Folge A002645 in OEIS)

• Die momentan größte bekannte quartische Primzahl (Stand: 17. Juni 2018) ist gleichzeitig die größte bekannte verallgemeinerte Fermatsche Primzahl, nämlich

${\displaystyle p=919444^{1048576}+1=(919444^{262144})^{4}+1^{4}}$

Sie hat ${\displaystyle 6.253.210}$ Stellen und wurde am 29. August 2017 von Sylvanus A. Zimmerman (USA) entdeckt.^[1][2]

• Sei ${\displaystyle p\in \mathbb {P} }$ mit ${\displaystyle p>2}$ eine (ungerade) quartische Primzahl. Dann gilt:^[3]

${\displaystyle p=16n+1}$ mit ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$

Mit anderen Worten:

${\displaystyle p\equiv 1{\pmod {16}}}$

• Sei ${\displaystyle p=x^{4}+y^{4}\in \mathbb {P} }$ mit ${\displaystyle p>2}$ eine (ungerade) quartische Primzahl. Dann gilt:

Wenn ${\displaystyle x}$ ungerade ist, muss ${\displaystyle y}$ gerade sein oder umgekehrt.

Beweis:

Angenommen, sowohl ${\displaystyle x}$ als auch ${\displaystyle y}$ sind gerade. Dann wäre auch ${\displaystyle x^{4}}$ und ${\displaystyle y^{4}}$ gerade und somit wäre auch ${\displaystyle p=x^{4}+y^{4}}$ als Summe von zwei geraden Zahlen eine gerade Primzahl. Wegen ${\displaystyle p>2}$ kann dies aber nicht sein.

Angenommen, sowohl ${\displaystyle x}$ als auch ${\displaystyle y}$ sind ungerade. Dann wäre auch ${\displaystyle x^{4}}$ und ${\displaystyle y^{4}}$ ungerade und somit wäre ${\displaystyle p=x^{4}+y^{4}}$ als Summe von zwei ungeraden Zahlen eine gerade Primzahl. Wegen ${\displaystyle p>2}$ kann dies aber nicht sein.

Somit bleibt nur übrig, dass entweder ${\displaystyle x}$ oder ${\displaystyle y}$ ungerade und die jeweils andere gerade ist. ${\displaystyle \Box }$

Weil jede gerade Zahl hoch 4 durch 16 teilbar ist und jede ungerade Zahl hoch 4 bei der Division durch 16 den Rest 1 hat, gilt: ${\displaystyle p=g^{4}+u^{4}\equiv 0+1=1{\pmod {16}}}$

• Außer der 2 enden alle quartischen Primzahlen im Dezimalsystem mit der Endziffer 1 oder 7.

Alle Biquadrate von geraden Zahlen endet mit der Ziffer 0, falls diese durch 10 teilbar sind ${\displaystyle (z)}$, andernfalls mit der Endziffer 6 ${\displaystyle (g)}$.

Alle Biquadrate von ungeraden Zahlen endet mit der Ziffer 5, falls diese durch 5 teilbar sind ${\displaystyle (f)}$, andernfalls mit der Endziffer 1 ${\displaystyle (u)}$.

${\displaystyle z^{4}+u^{4}\equiv 0+1\equiv 1{\pmod {10}}}$

${\displaystyle z^{4}+f^{4}\equiv 0+5\equiv 5{\pmod {10}}}$ : keine Primzahlen, weil durch 5 teilbar.

${\displaystyle g^{4}+u^{4}\equiv 6+1\equiv 7{\pmod {10}}}$

${\displaystyle g^{4}+f^{4}\equiv 6+5\equiv 1{\pmod {10}}}$

• Biquadrat

1. ↑ 919444^1048576 + 1 auf Prime Pages
2. ↑ 919444^1048576 + 1 auf primegrid.com (PDF)
3. ↑ A. J. C. Cunningham: High quartan factorisations and primes. Messenger of Mathematics 36, 1907, S. 145–174, abgerufen am 7. Juli 2018 (englisch). 

• Neil Sloane: A Handbook of Integer Sequences. Abgerufen am 27. Mai 2018 (englisch). 

Neil Sloane: A Handbook of Integer Sequences. Academic Press, Inc., New York 1973, ISBN 1-4832-4665-5, S. 205.