Pseudokreis

Die Pseudokreis ist im mathematischen Teilgebiet der Algebraischen Topologie ein lediglich aus vier Punkten bestehender topologischer Raum, welcher schwach homotopieäquivalent zum Kreis ist.

Seien ${\displaystyle l}$ (eng. left für links), ${\displaystyle r}$ (eng. right für rechts), ${\displaystyle t}$ (eng. top für oben) und ${\displaystyle b}$ (eng. bottom für unten) vier Punkte. Nun ist der Pseudokreis die Menge ${\displaystyle \mathbb {S} =\{l,r,t,b\}}$ mit der Topologie:

${\displaystyle \{\{l,r,t,b\},\{l,r,t\},\{l,r,b\},\{l,r\},\{l\},\{r\},\emptyset \}.}$

Durch die Abbildung ${\displaystyle S^{1}\rightarrow \mathbb {S} }$, welche dem Nordpol von ${\displaystyle S^{1}}$ den Punkt ${\displaystyle t\in \mathbb {S} }$, dem Südpol von ${\displaystyle S^{1}}$ den Punkt ${\displaystyle b\in \mathbb {S} }$, dem linken offenen Halbkreis den Punkt ${\displaystyle l\in \mathbb {S} }$ und dem rechten offenen Halbkreis den Punkt ${\displaystyle r\in \mathbb {S} }$ zuordnet, ist der Pseudokreis schwach homotopieäquivalent zum Kreis. Dadurch ist insbesondere ${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {S} )\cong \mathbb {Z} }$, wobei die gerade beschriebene Abbildung ein Generator ist. Umgekehrt ist jedoch jede stetige Abbildung ${\displaystyle \mathbb {S} \rightarrow S^{1}}$ konstant.

Allgemeiner dient der Pseudokreis nur als einfachstes Beispiel des sehr viel stärkeren Resultates, dass jeder Homotopie-, Homologie- und Kohomologietyp eines Simplizialkomplexes sogar durch einen endlichen topologischen Raum dargestellt werden kann. Für jeden Simplizialkomplex ${\displaystyle K}$ gibt es einen endlichen topologischen Raum ${\displaystyle X}$ und für jeden endlichen topologischen Raum ${\displaystyle X}$ gibt es einen Simplizialkomplex ${\displaystyle K}$, sodass eine schwache Homotopieäquivalenz:

${\displaystyle |K|\rightarrow X}$

existiert. Dabei ist ${\displaystyle |K|}$ die geometrische Realisierung von ${\displaystyle K}$.^[1]

• Michael McCord: Singular homology groups and homotopy groups of finite topological spaces. In: Duke Math. J. Band 33, Nr. 3, 1966, S. 465–474, doi:10.1215/S0012-7094-66-03352-7, JSTOR:1969983. 

• pseudocircle auf nLab (englisch)

1. ↑ McCord 1966, Theorem 1