Positives Element

In der Mathematik nennt man ein Element einer *-Algebra positiv, wenn es eine Summe von Elementen der Form ${\displaystyle a^{*}a}$ ist.

Sei ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ eine *-Algebra, so heißt ein Element ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$ positiv, falls endlich viele Elemente ${\displaystyle a_{k}\in {\mathcal {A}}\;(k=1,2,\ldots ,n)}$ existieren, sodass ${\textstyle a=\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{*}a_{k}}$ gilt. Man schreibt dafür auch ${\displaystyle a\geq 0}$.

Die Menge der positiven Elemente wird mit ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{+}}$ bezeichnet.

Besonders interessant ist der Fall, bei dem ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ eine vollständige normierte *-Algebra ist, die die C*-Eigenschaft (${\displaystyle \left\|a^{*}a\right\|=\left\|a\right\|^{2}\ \forall a\in {\mathcal {A}}}$) erfüllt, eine sogenannte C*-Algebra.

• Das Einselement ${\displaystyle e}$ einer unitären *-Algebra ist positiv.
• Für jedes Element ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$ sind ${\displaystyle a^{*}a}$ und ${\displaystyle aa^{*}}$ per Definition positiv.

Falls ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ eine C*-Algebra ist, gilt:

• Sei ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{N}}$ ein normales Element, dann definiert jede positive Funktion ${\displaystyle f\geq 0}$, die auf dem Spektrum von ${\displaystyle a}$ stetig ist, mittels stetigem Funktionalkalkül ein positives Element ${\displaystyle f(a)}$.
• Jede Projektion, das heißt jedes Element ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$ für das ${\displaystyle a=a^{*}=a^{2}}$ gilt, ist positiv. Für das Spektrum ${\displaystyle \sigma (a)}$ eines solchen idempotenten Elements gilt nämlich ${\displaystyle \sigma (a)\subseteq \{0,1\}}$, wie sich aus dem stetigen Funktionalkalkül ergibt.

Sei ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ eine C*-Algebra und ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$. Dann sind äquivalent:

• Es gilt ${\displaystyle \sigma (a)\subseteq [0,\infty )}$ und ${\displaystyle a}$ ist ein normales Element.
• Es existiert ein Element ${\displaystyle b\in {\mathcal {A}}}$, sodass ${\displaystyle a=bb^{*}}$ gilt.
• Es existiert ein (eindeutiges) selbstadjungiertes Element ${\displaystyle c\in {\mathcal {A}}_{sa}}$, sodass ${\displaystyle a=c^{2}}$ gilt.

Ist ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ eine unitäre *-Algebra mit Einselement ${\displaystyle e}$, so sind dazu außerdem die folgenden Aussagen äquivalent:

• Es gilt ${\displaystyle \left\|te-a\right\|\leq t}$ für jedes ${\displaystyle t\geq \left\|a\right\|}$ und ${\displaystyle a}$ ist selbstadjungiertes Element.
• Es gilt ${\displaystyle \left\|te-a\right\|\leq t}$ für ein ${\displaystyle t\geq \left\|a\right\|}$ und ${\displaystyle a}$ ist selbstadjungiertes Element.

Sei ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ eine *-Algebra. Dann gilt:

• Ist ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{+}}$ ein positives Element, dann ist ${\displaystyle a}$ selbstadjungiert.
• Die Menge der positiven Elemente ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{+}}$ ist ein konvexer Kegel im reellen Vektorraum der selbstadjungierten Elemente ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{sa}}$. Das heißt, für alle ${\displaystyle a,b\in {\mathcal {A}}}$ und ${\displaystyle \alpha \in [0,\infty )}$ gilt ${\displaystyle \alpha a,a+b\in {\mathcal {A}}_{+}}$.
• Ist ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{+}}$ ein positives Element, dann ist auch ${\displaystyle b^{*}ab}$ positiv für jedes Element ${\displaystyle b\in {\mathcal {A}}}$.
• Für die lineare Hülle von ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{+}}$ gilt ${\displaystyle \langle {\mathcal {A}}_{+}\rangle ={\mathcal {A}}^{2}}$ und ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{+}-{\mathcal {A}}_{+}={\mathcal {A}}_{sa}\cap {\mathcal {A}}^{2}}$.

Sei ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ eine C*-Algebra. Dann gilt:

• Nach dem stetigen Funktionalkalkül existiert für jedes ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}_{+}}$ und ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ein eindeutig bestimmtes ${\displaystyle b\in {\mathcal {A}}_{+}}$, das ${\displaystyle b^{n}=a}$ erfüllt, das heißt eine ${\displaystyle n}$-te Wurzel. Insbesondere existiert für ein positives Element eine Quadratwurzel. Da für ein ${\displaystyle b\in {\mathcal {A}}}$ das Element ${\displaystyle b^{*}b}$ positiv ist, ermöglicht dies die Definition eines eindeutigen Betrags: ${\textstyle |b|=(b^{*}b)^{\frac {1}{2}}}$.
• Für jede reelle Zahl ${\displaystyle \alpha \geq 0}$ gibt es ein positives Element ${\displaystyle a^{\alpha }\in {\mathcal {A}}_{+}}$ für das ${\displaystyle a^{\alpha }a^{\beta }=a^{\alpha +\beta }}$ für alle ${\displaystyle \beta \in [0,\infty )}$ gilt. Dabei ist die Abbildung ${\displaystyle \alpha \mapsto a^{\alpha }}$ stetig. Für invertierbare ${\displaystyle a}$ sind auch negative Werte für ${\displaystyle \alpha }$ möglich.
• Produkte kommutierender positiver Elemente sind ebenfalls positiv. Gilt also ${\displaystyle ab=ba}$ für positive ${\displaystyle a,b\in {\mathcal {A}}_{+}}$, so gilt ${\displaystyle ab\in {\mathcal {A}}_{+}}$.
• Jedes Element ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$ lässt sich eindeutig als Linearkombination von vier positiven Elementen darstellen. Hierzu zerlegt man ${\displaystyle a}$ zunächst in den selbstadjungierten Real- und Imaginärteil und diese wiederum in Positiv- und Negativteil mittels stetigem Funktionalkalkül. Es gilt nämlich ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{sa}={\mathcal {A}}_{+}-{\mathcal {A}}_{+}}$, da ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{2}={\mathcal {A}}}$.
• Es gilt ${\displaystyle a=0}$, falls sowohl ${\displaystyle a}$ als auch ${\displaystyle -a}$ positiv sind.
• Ist ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ eine C*-Unteralgebra von ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, so gilt ${\displaystyle {\mathcal {B}}_{+}={\mathcal {B}}\cap {\mathcal {A}}_{+}}$.
• Ist ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ eine weitere C*-Algebra und ${\displaystyle \Phi }$ ein *-Homomorphismus von ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ nach ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$, dann gilt ${\displaystyle \Phi ({\mathcal {A}}_{+})=\Phi ({\mathcal {A}})\cap {\mathcal {B}}_{+}}$.^[1]
• Seien ${\displaystyle a,b\in {\mathcal {A}}_{+}}$ positive Elemente für die ${\displaystyle ab=0}$ gilt, so kommutieren diese und es gilt ${\displaystyle \left\|a+b\right\|=\max(\left\|a\right\|,\left\|b\right\|)}$. Man nennt diese dann auch orthogonal und schreibt ${\displaystyle a\bot b}$.

Sei ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ eine *-Algebra. Die Eigenschaft, positives Element zu sein, definiert eine translationsinvariante partielle Ordnung auf der Menge der selbstadjungierten Elemente ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{sa}}$. Wenn ${\displaystyle b-a\in {\mathcal {A}}_{+}}$ gilt für ${\displaystyle a,b\in {\mathcal {A}}}$, schreibt man ${\displaystyle a\leq b}$ oder ${\displaystyle b\geq a}$.

Diese partielle Ordnung erfüllt die Eigenschaften ${\displaystyle ta\leq tb}$ und ${\displaystyle a+c\leq b+c}$ für alle ${\displaystyle a,b,c\in {\mathcal {A}}_{sa}}$ mit ${\displaystyle a\leq b}$ und ${\displaystyle t\in [0,\infty )}$.

Ist ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ eine C*-Algebra, so besitzt die partielle Ordnung darüber hinaus für ${\displaystyle a,b\in {\mathcal {A}}}$ die folgenden Eigenschaften:

• Gilt ${\displaystyle a\leq b}$, so ist ${\displaystyle c^{*}ac\leq c^{*}bc}$ für jedes ${\displaystyle c\in {\mathcal {A}}}$. Für ein ${\displaystyle c\in {\mathcal {A}}_{+}}$, das mit ${\displaystyle a}$ und ${\displaystyle b}$ kommutiert, gilt sogar ${\displaystyle ac\leq bc}$.
• Gilt ${\displaystyle -b\leq a\leq b}$, so ist ${\displaystyle \left\|a\right\|\leq \left\|b\right\|}$.
• Gilt ${\displaystyle 0\leq a\leq b}$, so ist ${\textstyle a^{\alpha }\leq b^{\alpha }}$ für alle reellen Zahlen ${\displaystyle 0<\alpha \leq 1}$.
• Ist ${\displaystyle a}$ invertierbar und gilt ${\displaystyle 0\leq a\leq b}$, so ist ${\displaystyle b}$ invertierbar und für die Inversen gilt ${\displaystyle b^{-1}\leq a^{-1}}$.

• Positive Matrix
• Positiver Operator

• Bruce Blackadar: Operator Algebras. Theory of C*-Algebras and von Neumann Algebras. Springer, Berlin/Heidelberg 2006, ISBN 3-540-28486-9.
• Richard V. Kadison, John R. Ringrose: Fundamentals of the Theory of Operator Algebras. Volume 1 Elementary Theory. Academic Press, New York/London 1983, ISBN 0-12-393301-3.
• Theodore W. Palmer: Banach algebras and the general theory of*-algebras: Volume 2,*-algebras. Cambridge university press, 1994, ISBN 0-521-36638-0.

1. ↑ Jacques Dixmier: C*-algebras. Aus dem Französischen von Francis Jellett. North-Holland, Amsterdam/New York/Oxford 1977, ISBN 0-7204-0762-1, S. 18.