Plus-Konstruktion

Die Plus-Konstruktion (häufig als Quillens Plus-Konstruktion bezeichnet) ist ein Verfahren der algebraischen Topologie, das unter anderem bei der Definition der algebraischen K-Theorie Anwendung findet.

Satz: Sei ${\displaystyle X}$ ein zusammenhängender CW-Komplex mit ${\displaystyle H_{1}(X;\mathbb {Z} )=0}$. Dann gibt es einen durch Ankleben von 2- und 3-Zellen konstruierten einfach zusammenhängenden CW-Komplex ${\displaystyle X^{+}}$ und eine Inklusion ${\displaystyle j:X\rightarrow X^{+}}$, so dass die induzierten Morphismen der Homologiegruppen

${\displaystyle j_{n}:H_{n}(X;\mathbb {Z} )\rightarrow H_{n}(X^{+};\mathbb {Z} )}$

für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ Isomorphismen sind.

Konstruktion/Beweisidee: Seien ${\displaystyle \left\{e_{i}:S^{1}\rightarrow X\right\}_{i\in I}}$ Repräsentanten für ein Erzeugendensystem der Fundamentalgruppe ${\displaystyle \pi _{1}X}$. Durch Ankleben von 2-Zellen ${\displaystyle \left\{D_{i}\right\}_{i\in I}}$ mittels der Abbildungen ${\displaystyle e_{i}:\partial D_{i}\rightarrow X}$ erhält man einen einfach zusammenhängenden CW-Komplex ${\displaystyle X^{\prime }}$. Die lange exakte Sequenz

${\displaystyle 0\rightarrow H_{2}(X)\rightarrow H_{2}(X^{\prime })\rightarrow H_{2}(X^{\prime },X)\rightarrow 0=H_{1}(X)}$

spaltet weil ${\displaystyle H_{2}(X^{\prime },X)}$ von den 2-Zellen ${\displaystyle \left\{D_{i}\right\}_{i\in I}}$ frei erzeugt wird, man hat also einen Isomorphismus

${\displaystyle H_{2}(X^{\prime })=H_{2}(X)\oplus H_{2}(X^{\prime },X)}$

und der Summand ${\displaystyle H_{2}(X^{\prime },X)}$ wird von den ${\displaystyle \left\{D_{i}\right\}_{i\in I}}$ erzeugt. Weil ${\displaystyle X^{\prime }}$ einfach zusammenhängend ist, sind nach dem Satz von Hurewicz die Elemente ${\displaystyle \left[D_{i}\right]\in H_{2}(X^{\prime })}$ von der Form ${\displaystyle (f_{i})_{*}\left[S^{2}\right]}$ für Abbildungen ${\displaystyle f_{i}:S^{2}\rightarrow X^{\prime }}$. (Hier bezeichnet ${\displaystyle \left[S^{2}\right]\in H_{2}(S^{2};\mathbb {Z} )}$ die Fundamentalklasse.) Durch Ankleben von 3-Zellen ${\displaystyle \left\{E_{i}\right\}_{i\in I}}$ mittels der Abbildungen ${\displaystyle f_{i}:\partial E_{i}\rightarrow X^{\prime }}$ erhält man einen einfach zusammenhängenden CW-Komplex ${\displaystyle X^{+}}$ mit ${\displaystyle H_{2}(X^{+})=H_{2}(X)}$. Weil die angeklebten 3-Zellen ihren Rand nicht in ${\displaystyle X}$ haben, gilt ${\displaystyle H_{3}(X^{+},X)=0}$, und weil lediglich 2- und 3-dimensionale Zellen angeklebt wurden, gilt ${\displaystyle H_{*}(X^{+},X)=0}$ für ${\displaystyle *\geq 4}$. Also hat man auch für alle Homologiegruppen ab Grad 3 einen Isomorphismus.

Satz: Sei ${\displaystyle X}$ ein zusammenhängender CW-Komplex und ${\displaystyle N\subset \pi _{1}X}$ ein perfekter Normalteiler. Dann gibt es einen durch Ankleben von 2- und 3-Zellen konstruierten CW-Komplex ${\displaystyle X^{+}}$ und eine Inklusion ${\displaystyle j:X\rightarrow X^{+}}$, so dass der induzierte Morphismus der Fundamentalgruppen

${\displaystyle j_{*}:\pi _{1}X\rightarrow \pi _{1}X^{+}}$

die Quotientenabbildung ${\displaystyle \pi _{1}X\to \pi _{1}X/N}$ und die induzierten Morphismen der Homologiegruppen

${\displaystyle j_{n}:H_{n}(X;\mathbb {Z} )\rightarrow H_{n}(X^{+};\mathbb {Z} )}$

für alle ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ Isomorphismen sind.

Konstruktion/Beweisidee: Seien ${\displaystyle \left\{e_{i}:S^{1}\rightarrow X\right\}_{i\in I}}$ Repräsentanten für ein Erzeugendensystem von ${\displaystyle N}$. Durch Ankleben von 2-Zellen ${\displaystyle \left\{D_{i}\right\}_{i\in I}}$ mittels der Abbildungen ${\displaystyle e_{i}:\partial D_{i}\rightarrow X}$ erhält man einen CW-Komplex ${\displaystyle X^{\prime }}$, so dass der durch die Inklusion ${\displaystyle X\to X^{\prime }}$ erzeugte Homomorphismus der Fundamentalgruppen die Quotientenabbildung ${\displaystyle \pi _{1}X\to \pi _{1}X/N}$ ist. Sei ${\displaystyle {\widetilde {X^{\prime }}}}$ die universelle Überlagerung von ${\displaystyle X^{\prime }}$ und ${\displaystyle {\widetilde {X}}\subset {\widetilde {X^{\prime }}}}$ das Urbild von ${\displaystyle X}$, also ${\displaystyle \pi _{1}{\widetilde {X}}=N}$ und (weil ${\displaystyle N}$ perfekt ist) ${\displaystyle H_{1}({\widetilde {X}})=0}$. Analog zu oben hat man einen Isomorphismus ${\displaystyle H_{2}({\widetilde {X^{\prime }}})=H_{2}({\widetilde {X}})\oplus H_{2}({\widetilde {X^{\prime }}},{\widetilde {X}})}$ und der Summand ${\displaystyle H_{2}({\widetilde {X^{\prime }}},{\widetilde {X}})}$ ist der von den ${\displaystyle \left\{D_{i}\right\}_{i\in I}}$ erzeugte freie ${\displaystyle \mathbb {Z} \left[\pi _{1}X/N\right]}$-Modul. Weil ${\displaystyle {\widetilde {X^{\prime }}}}$ einfach zusammenhängend ist, gibt es ${\displaystyle \left[D_{i}\right]\in H_{2}(X^{\prime })}$ realisierende Abbildungen ${\displaystyle f_{i}:S^{2}\rightarrow X^{\prime }}$ und durch Ankleben von 3-Zellen ${\displaystyle \left\{E_{i}\right\}_{i\in I}}$ mittels der Abbildungen ${\displaystyle f_{i}:\partial E_{i}\rightarrow X^{\prime }}$ erhält man wieder einen einfach zusammenhängenden CW-Komplex ${\displaystyle X^{+}}$ mit den gewünschten Eigenschaften.

Es sei ${\displaystyle f\colon X\to Y}$ eine stetige Abbildung zwischen zusammenhängenden CW-Komplexen und es seien ${\displaystyle N_{X}\subset \pi _{1}X,N_{Y}\subset \pi _{1}Y}$ perfekte Normalteiler mit ${\displaystyle f_{*}(N_{X})\subset N_{Y}}$. Dann induziert ${\displaystyle f}$ eine bis auf Homotopie eindeutige stetige Fortsetzung ${\displaystyle f^{+}\colon X^{+}\to Y^{+}}$.^[1]

Sei ${\displaystyle BG}$ der klassifizierende Raum einer diskreten Gruppe ${\displaystyle G}$ und ${\displaystyle N\subset G}$ ein perfekter Normalteiler. Sei ${\displaystyle F}$ die Homotopiefaser der Plus-Konstruktion ${\displaystyle BG\to BG^{+}}$, dann ist ${\displaystyle \pi _{1}F}$ die universelle zentrale Erweiterung von ${\displaystyle N}$ und ${\displaystyle \pi _{2}(BG^{+})=H_{2}(N;\mathbb {Z} )}$.^[2]

Sei ${\displaystyle R}$ ein unitärer Ring, ${\displaystyle GL(R)=\bigcup _{n\geq 0}GL(n,R)}$ die Gruppe der invertierbaren Matrizen über ${\displaystyle R}$ und ${\displaystyle BGL(R)}$ der klassifizierende Raum von ${\displaystyle GL(R)}$, d. h. ein asphärischer Raum mit Fundamentalgruppe ${\displaystyle GL(R)}$. Weil die Gruppe der Elementarmatrizen ${\displaystyle E(R)=\left[GL(R),GL(R)\right]}$ perfekt und ein Normalteiler ist, kann man die Plus-Konstruktion anwenden. Die algebraische K-Theorie des Ringes ${\displaystyle R}$ ist definiert als

${\displaystyle K_{i}(R):=\pi _{i}(BGL^{+}(R))}$

für ${\displaystyle i\geq 1}$.

Sei ${\displaystyle K}$ ein endlicher Körper mit ${\displaystyle q}$ Elementen, dann gibt es nach einem Satz von Quillen eine Homotopieäquivalenz

${\displaystyle BGL(k)^{+}\simeq E\Psi ^{q}}$,

wobei ${\displaystyle E\Psi ^{q}}$ die Faser der Abbildung

${\displaystyle \Psi ^{q}-Id:BU\rightarrow BU}$

(für ${\displaystyle \Psi ^{q}}$ die Wirkung der Adams-Operation auf dem klassifizierenden Raum der unitären Gruppe) ist. Die Homotopiegruppen von ${\displaystyle E\Psi ^{q}}$ können mit Bott-Periodizität berechnet werden, als Ergebnis erhält man

${\displaystyle K_{2i}(K)=0,K_{2i-1}(K)=\mathbb {Z} /(q^{i}-1)\mathbb {Z} }$.

${\displaystyle BGL^{+}(R)}$ ist ein H-Raum mittels einer von Loday definierten Verknüpfung.^[3] Die Plus-Konstruktion ist universell für Abbildungen in H-Räume, d. h. jede stetige Abbildung ${\displaystyle BGL(R)\to H}$ in einen H-Raum ${\displaystyle H}$ faktorisiert über ${\displaystyle BGL^{+}(R)}$.

• Daniel Quillen: Cohomology of groups. Actes Congrès Internat. Math. , 2 , Gauthier-Villars (1973) S. 47–51 pdf
• Jonathan Rosenberg: Algebraic K-theory and its applications. Graduate Texts in Mathematics, 147. Springer-Verlag, New York, 1994. ISBN 0-387-94248-3
• Charles Weibel: The K-book. An introduction to algebraic K-theory. Graduate Studies in Mathematics, 145. American Mathematical Society, Providence, RI, 2013. ISBN 978-0-8218-9132-2
• Allen Hatcher: Algebraic topology. Cambridge University Press, Cambridge, 2002. ISBN 0-521-79160-X pdf
• Jean-Claude Hausmann; Dale Husemoller: Acyclic maps. Enseign. Math. (2) 25 (1979), no. 1-2, 53–75

• Plus construction (Encyclopedia of Mathematics)
• Shah: The Quillen plus construction in algebraic K-theory
• Hausmann: Homology bordism and Quillen plus construction
• Friedlander: An introduction to K-theory

1. ↑ Rosenberg, op.cit., Proposition 5.2.4
2. ↑ Weibel, op.cit., Proposition IV.1.7
3. ↑ Jean Louis Loday: Structure multiplicative en K-théorie algébrique. C. R. Acad. Sci. Paris Sér. A 279 (1974), 321–324.