Petzval-Summe

Die Petzval-Summe bzw. der daraus resultierende Radius der Petzval-Fläche beschreibt die Bildfeldwölbung eines optischen Systems. Sie wurde von dem Mathematiker Josef Maximilian Petzval entwickelt und 1843 publiziert. Für eine Anzahl dünner Linsen mit der jeweiligen Brennweite ${\displaystyle f_{i}}$ und dem Brechungsindex ${\displaystyle n_{i}}$ gilt:

${\displaystyle {\frac {1}{r_{p}}}=\sum _{i}{\frac {1}{n_{i}f_{i}}}}$

Der reziproke Radius ${\displaystyle r_{p}}$ der Petzval-Fläche ist gleich der Petzval-Summe.

Allgemeiner gilt:

${\displaystyle {\frac {1}{r_{p}}}=n_{k+1}\sum _{i}^{k}{\begin{cases}\rho _{i}\left({\frac {1}{n_{i}}}-{\frac {1}{n_{i+1}}}\right),&{\text{refraktive Fl}}{\mathrm {\ddot {a}} }{\text{che}}\\2\rho _{i},&{\text{reflexive Fl}}{\mathrm {\ddot {a}} }{\text{che}}\end{cases}},}$

wobei ${\displaystyle \rho _{i}}$ die Krümmung der i-ten Fläche ist (Kehrwert des Radius; 0 für ebene Fläche). ${\displaystyle \rho _{i}}$ ist positiv für eine in Lichtausbreitungsrichtung konvexe Fläche, negativ für eine konkave. ${\displaystyle n_{i}}$ ist der Brechungsindex vor der i-ten Fläche und ${\displaystyle n_{i+1}}$ der Brechungsindex danach. ${\displaystyle n_{k+1}}$ ist der Brechungsindex nach der letzten Fläche.

Die Petzval-Bedingung besagt, dass die Krümmung der Petzvalfläche dann verschwindet, wenn die Petzval-Summe null ist. Tritt zudem kein Astigmatismus auf, ist das Bildfeld eben.

Ist Astigmatismus vorhanden, gibt es zwischen der Krümmung der Petzval-Fläche und der Krümmung von tangentialer ${\displaystyle r_{t}}$ und sagittaler ${\displaystyle r_{s}}$ Bildebene folgende Beziehung:

${\displaystyle {\frac {2}{r_{p}}}={\frac {3}{r_{s}}}-{\frac {1}{r_{t}}}}$

Die mittlere Bildfeldwölbung ist hierbei das reziproke Mittel von tangentialer und sagittaler Krümmung.

• F. Pedrotti, W. Bausch, H. Schmitt: Optik Für Ingenieure
• Image Field Curvature (en)
• H. Zinken genannt Sommer: Über die Berechnung der Bildkrümmung bei optischen Apparaten, Annalen der Physik, S. 563 ff., 1864