Pell-Folge

Die Pell-Folge ist eine mathematische Folge von positiven ganzen Zahlen, der Pell-Zahlen (engl. Pell numbers), genauso wie die Pell-Zahlen 2. Art (engl. companion Pell numbers). Ihren Namen hat sie von dem englischen Mathematiker John Pell (1611–1685).

Die Folge ist rekursiv definiert durch:

${\displaystyle P(n)={\begin{cases}0,&{\text{wenn }}n=0;\\1,&{\text{wenn }}n=1;\\2P(n-1)+P(n-2)&{\text{sonst.}}\end{cases}}}$

Das bedeutet in Worten:

• für die beiden ersten Zahlen werden die Werte Null und Eins vorgegeben
• jede weitere Zahl berechnet man durch Verdopplung des direkten Vorgängers und anschließende Addition des Vorvorgängers.

Die ersten ${\displaystyle n}$ Zahlen der Folge lauten (wenn man mit ${\displaystyle n=0}$ zu zählen beginnt):

0, 1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378, 5741, 13860, 33461, … (Folge A000129 in OEIS)

Die Pell-Folge lässt sich auch als Spezialfall der allgemeinen Lucas-Folge ${\displaystyle U_{n}(P,Q)}$ mit ${\displaystyle P=2}$ und ${\displaystyle Q=-1}$ interpretieren:

${\displaystyle f_{n}=U_{n}(2,-1)}$

Für den Grenzwert des Verhältnisses zweier aufeinander folgender Zahlen der Pell-Folge gilt:

${\displaystyle \delta _{S}:=\lim _{n\to \infty }{\frac {P(n)}{P(n-1)}}=1+{\sqrt {2}}}$

Diese Zahl nennt man Silberner Schnitt in Analogie zum Goldenen Schnitt der Fibonacci-Folge.

Es ist folgender Grenzwert zu bestimmen: ${\displaystyle L:=\lim _{n\to \infty }{\frac {P(n)}{P(n-1)}}}$

Mit ${\displaystyle P(n)=2\cdot P(n-1)+P(n-2)}$ folgt:

${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }{\frac {2\cdot P(n-1)+P(n-2)}{P(n-1)}}=\lim _{n\to \infty }{\frac {2\cdot P(n-1)}{P(n-1)}}+\lim _{n\to \infty }{\frac {P(n-2)}{P(n-1)}}=2+\lim _{n\to \infty }{\frac {P(n-2)}{P(n-1)}}}$

Mit ${\displaystyle L=\lim _{n\to \infty }{\frac {P(n-1)}{P(n-2)}}}$

folgt weiter: ${\displaystyle L=2+{\tfrac {1}{L}}}$. Damit ergibt sich die quadratische Gleichung ${\displaystyle L^{2}-2L-1=0}$

mit den beiden Lösungen   ${\displaystyle L_{1}=1+{\sqrt {2}}}$   und   ${\displaystyle L_{2}=1-{\sqrt {2}}}$.

Da von diesen beiden Werten nur der positive für den Grenzwert in Frage kommt, folgt:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {P(n)}{P(n-1)}}=1+{\sqrt {2}}}$

Im Abschnitt Herleitung des Zahlenwertes wurde für die Grenzwerte des Verhältnisses zweier aufeinander folgender Zahlen der Pell-Folge gezeigt:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {P(n)}{P(n-1)}}=1+{\sqrt {2}}}$   und   ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {P(n)}{P(n-1)}}=1-{\sqrt {2}}}$.

Seien ${\displaystyle c_{1}}$ und ${\displaystyle c_{2}}$ reelle Konstanten. Dann erfüllen die geometrischen Folgen

${\displaystyle P_{1}(0):=c_{1}\quad P_{1}(n):=c_{1}(1+{\sqrt {2}})^{n}\quad n\in \mathbb {N} }$   und

${\displaystyle P_{2}(0):=c_{2}\quad P_{2}(n):=c_{2}(1-{\sqrt {2}})^{n}\quad n\in \mathbb {N} }$

die Rekursionsformeln

${\displaystyle P_{1}(n)=2P_{1}(n-1)+P_{1}(n-2)}$   und  

${\displaystyle P_{2}(n)=2P_{2}(n-1)+P_{2}(n-2)}$.

Deren Linearkombination ${\displaystyle P_{l}(n):=c_{1}(1+{\sqrt {2}})^{n}+c_{2}(1-{\sqrt {2}})^{n}}$ erfüllt ebenfalls die Pell-Rekursion.

Für die Pell-Folge müssen folgende Anfangswerte gelten: ${\displaystyle P(0)=0}$   und    ${\displaystyle P(1)=1}$.

Eingesetzt in ${\displaystyle P_{l}(n)}$ ergibt sich folgendes Gleichungssystem:

${\displaystyle P_{l}(0)=c_{1}+c_{2}=0}$   und  

${\displaystyle P_{l}(1)=c_{1}(1+{\sqrt {2}})+c_{2}(1-{\sqrt {2}})=1}$

mit den Lösungen ${\displaystyle c_{1}={\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}}$    und   ${\displaystyle c_{2}=-{\frac {1}{2{\sqrt {2}}}}}$

Damit ergibt sich die geschlossene Form der Pell-Folge:

${\displaystyle P(n)={\frac {(1+{\sqrt {2}})^{n}-(1-{\sqrt {2}})^{n}}{2{\sqrt {2}}}}.}$

Die erzeugende Funktion der Pell-Folge ist:

${\displaystyle {\mathcal {P}}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }P(n)\cdot x^{n}={\frac {x}{1-2x-x^{2}}}.}$

Diese Potenzreihe hat den Konvergenzradius ${\displaystyle {\sqrt {2}}-1}$.

Die erzeugende Funktion der Pell-Folge hat den Konvergenzradius ${\displaystyle {\sqrt {2}}-1}$.

Für ${\displaystyle |x|<{\sqrt {2}}-1}$ gilt daher mit ${\displaystyle P(n+2)-2\cdot P(n+1)-P(n)=0,\ P(0)=0{\text{ und }}P(1)=1}$:

${\displaystyle {\begin{alignedat}{5}{\mathcal {P}}(x)&=P(0)&&+P(1)\cdot x&&+P(2)\cdot x^{2}&&+P(3)\cdot x^{3}&&+P(4)\cdot x^{4}+\dotsb \\{-2x}\cdot {\mathcal {P}}(x)&=&&-2\cdot P(0)\cdot x&&-2\cdot P(1)\cdot x^{2}&&-2\cdot P(2)\cdot x^{3}&&-2\cdot P(3)\cdot x^{4}-\dotsb \\{-x^{2}}\cdot {\mathcal {P}}(x)&=&&&&-P(0)\cdot x^{2}&&-P(1)\cdot x^{3}&&-P(2)\cdot x^{4}-\dotsb \\\hline (1-2x-x^{2})\cdot {\mathcal {P}}(x)&=P(0)&&+P(1)\cdot x-2\cdot P(0)\cdot x\\&=x\end{alignedat}}}$

Die unendliche Summe der Kehrwerte der Nachfolger der ungeradstelligen Pell-Zahlen ist algebraisch.

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{P(2n-1)+1}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$

Die unendliche Summe der Kehrwerte der ungeradstelligen Pell-Zahlen ergibt folgenden elliptischen Funktionswert:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{P(2n-1)}}={\frac {2{\sqrt {2}}}{\pi }}{\sqrt {\lambda ^{*}[16\,\pi ^{-2}\operatorname {arsinh} (1)^{2}]}}K\{\lambda ^{*}[16\,\pi ^{-2}\operatorname {arsinh} (1)^{2}]\}}$

Hierbei ist λ*(x) die elliptische Lambdafunktion und K(x) ist das vollständige elliptische Integral erster Art.

Analog zur Millin-Reihe über die Fibonaccizahlen kann folgende Reihe über die Pell-Zahlen formuliert werden:

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{P(2^{n})}}=\lim _{z\rightarrow \infty }\sum _{n=1}^{z}{\frac {1}{P(2^{n})}}=\lim _{z\rightarrow \infty }{\frac {P(2^{z}-1)+P(2^{z}-2)}{P(2^{z})}}=2-{\sqrt {2}}}$

Eine Pell-Primzahl ist eine Pell-Zahl, die prim ist. Die kleinsten Pell-Primzahlen lauten:

2, 5, 29, 5741, 33461, 44560482149, 1746860020068409, 68480406462161287469, 13558774610046711780701, 4125636888562548868221559797461449, 4760981394323203445293052612223893281, … (Folge A086383 in OEIS)

Für diese Pell-Primzahlen ist der Index ${\displaystyle n}$ von ${\displaystyle P(n)}$ der folgende:

2, 3, 5, 11, 13, 29, 41, 53, 59, 89, 97, 101, 167, 181, 191, 523, 929, 1217, 1301, 1361, 2087, 2273, 2393, 8093, 13339, 14033, 23747, 28183, 34429, 36749, 90197, … (Folge A096650 in OEIS)

Beispiel 1:

Es ist ${\displaystyle P(10)=2378}$ und ${\displaystyle P(9)=985}$. Somit ist ${\displaystyle P(11)=2\cdot P(10)+P(9)=2\cdot 2378+985=5741\in \mathbb {P} }$ eine Primzahl. Tatsächlich taucht der Index ${\displaystyle n=11}$ in obiger Liste an der 4. Stelle auf, weil er zur viertkleinsten Pell-Primzahl ${\displaystyle P_{11}=5741}$ führt.

Es gelten folgende Eigenschaften für Pell-Primzahlen:

• Wenn ${\displaystyle P(n)}$ eine Pell-Primzahl ist, dann ist der Index ${\displaystyle n}$ ebenfalls eine Primzahl (die Umkehrung stimmt nicht, das heißt, dass nicht jeder Primzahl-Index zu einer Pell-Primzahl führt).^[1]

Pell Zahlen 2. Art werden auch Pell-Lucas Zahlen genannt.

Die Folge ist rekursiv definiert durch:

${\displaystyle Q(n)={\begin{cases}2,&{\text{wenn }}n=0;\\2,&{\text{wenn }}n=1;\\2Q(n-1)+Q(n-2)&{\text{sonst.}}\end{cases}}}$

Das bedeutet in Worten:

• für die beiden ersten Zahlen wird der Wert Zwei vorgegeben
• jede weitere Zahl berechnet man durch Verdopplung des direkten Vorgängers und anschließende Addition des Vorvorgängers.

Die ersten Zahlen der Folge lauten 2, 2, 6, 14, 34, 82, 198, 478, 1154, … (Folge A002203 in OEIS)

Die Companion Pell-Folge lässt sich auch als Spezialfall der allgemeinen Lucas-Folge ${\displaystyle V_{n}(P,Q)}$ mit ${\displaystyle P=2}$ und ${\displaystyle Q=-1}$ interpretieren:

${\displaystyle Q(n)=V_{n}(2,-1)}$

• Eric W. Weisstein: Pell Number. In: MathWorld (englisch).
• Eric W. Weisstein: Integer Sequence Primes. In: MathWorld (englisch).

1. ↑ Comments zu OEIS A096650