Partition eines Intervalls

Eine Partition eines Intervalls ist in der Mathematik eine endliche, streng aufsteigende Folge, die das Intervall in Teilintervalle aufteilt, so dass deren Vereinigung wieder das ursprüngliche Intervall ergibt. Der Begriff ist fundamental für die Definition der Variation.

Die Partition eines reellen kompakten Intervalls ${\displaystyle [a,b]}$, wobei ${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} \cup \{\pm \infty \}}$, ist eine endliche Folge ${\displaystyle \Pi _{n}=(t_{0},t_{1},\dots ,t_{n})}$, so dass

${\displaystyle a=t_{0}<t_{1}<\dots <t_{n}=b}$

gilt.^[1]

Ein Intervall der Form ${\displaystyle [t_{i},t_{i+1}]}$ für ${\displaystyle t_{i},t_{i+1}\in \Pi _{n}}$ mit ${\displaystyle i=0,\dots ,n-1}$ nennt man Teilintervall der Partition ${\displaystyle \Pi _{n}}$.

Die Länge des größten Teilintervalls ${\displaystyle |\Pi _{n}|}$ nennt man Norm oder Maschenweite von ${\displaystyle \Pi _{n}}$, d. h.

${\displaystyle |\Pi _{n}|:=\sup\{t_{i+1}-t_{i}:t_{i+1},t_{i}\in \Pi _{n}\}}$

Hat man zwei Partitionen ${\displaystyle \Pi _{n}}$ und ${\displaystyle \Pi _{m}}$ des gleichen Intervalls ${\displaystyle [a,b]}$, so dass ${\displaystyle \Pi _{n}\subseteq \Pi _{m}}$, dann ist ${\displaystyle \Pi _{m}}$ eine Verfeinerung von ${\displaystyle \Pi _{n}}$. Das heißt also ${\displaystyle \Pi _{m}}$ ist von der Form

${\displaystyle \Pi _{m}=\Pi _{n}\cup \{t_{i_{n+1}},t_{i_{n+2}},\dots ,t_{i_{m}}\},}$

wobei im Fall ${\displaystyle m=n}$ natürlich ${\displaystyle \Pi _{m}=\Pi _{n}}$ gilt.

In der Regel betrachtet man Folgen von Partitionen desselben Intervalls ${\displaystyle [a,b]}$.

Folgen von Partitionen ${\displaystyle (\Pi _{n}^{(N)})_{N}}$ derselben Tupellänge ${\displaystyle n}$, das heißt ${\displaystyle (t_{0},\dots ,t_{n})}$, notiert man als

${\displaystyle a=t_{0}^{(N)}<t_{1}^{(N)}<\dots <t_{n}^{(N)}=b.}$

Häufig interessiert man sich für Folgen von Verfeinerungen ${\displaystyle \dots \subseteq \Pi _{n}^{(N)}\subseteq \Pi _{m}^{(N+1)}\subseteq \dots }$ so dass ${\displaystyle \lim \limits _{N\to \infty }|\Pi _{n(N)}^{(N)}|=0}$.

Sei ${\displaystyle [0,T]}$ ein Intervall, die dyadische Partition ${\displaystyle \tau _{n}}$ der Ordnung ${\displaystyle n}$ ist die gleichmäßige Zerlegung des Intervals mit Stellen

${\displaystyle \tau _{n}=\left\{{\frac {kT}{2^{n}}}\colon k=0,\dots ,2^{n}\right\}.}$

Die Folge dyadischer Partitionen ${\displaystyle (\tau _{n})_{n}}$ ist eine verfeinerte Partition, das heißt ${\displaystyle \tau _{n}\subset \tau _{n+1}}$ für alle ${\displaystyle n}$. Die ${\displaystyle 2^{n}}$ Intervalle sind dann durch

${\displaystyle I_{n}^{k}=]t_{n}^{k-1},t_{n}^{k}],\quad k=1,\dots 2^{n}.}$

wobei ${\displaystyle t_{n}^{k}:={\frac {kT}{2^{n}}}}$ die ${\displaystyle k}$-te Teilstelle bezeichnet.

1. ↑ Philip E. Protter: Stochastic Integration and Differential Equations. Hrsg.: Springer. 2004, ISBN 3-540-00313-4, S. 116.