Parshin-Vermutung

Die Parshin-Vermutung (oder Beilinson-Parshin-Vermutung) ist in den mathematischen Teilgebieten der algebraischen Geometrie und algebraischen K-Theorie die Vermutung, dass die höheren algebraischen K-Gruppen einer glatten projektiven Varietät bis auf Torsion verschwinden.^[1] Benannt ist die Vermutung nach den russischen Mathematikern Aleksei Nikolaevich Parshin und Alexander Beilinson.

Für eine glatte projektive Varietät ${\displaystyle X}$ besagt die Parshin-Vermutung, dass:

${\displaystyle \operatorname {K} _{n}(X)\otimes \mathbb {Q} =0}$

für alle ${\displaystyle n\geq 1}$.^[1]

• Für ${\displaystyle \dim(X)=0}$ gilt die Parshin-Vermutung nach der Berechnung der K-Gruppen endlicher Körper durch Daniel Quillen aus dem Jahr 1972.^[2]
• Für ${\displaystyle \dim(X)=1}$ gilt die Parshin-Vermutung nach einen Resultat von Günter Harder aus dem Jahr 1977.^[3] Durch das zusätzliche Resultat, dass in diesem Fall die Bass-Vermutung ebenfalls wahr ist, sind die K-Gruppen sogar endlich.^[4]

1. ↑ ^{a b} Conjecture 51 in Kahn, Bruno: Handbook of K-Theory I. Hrsg.: Eric Friedlander, Daniel Grayson. Springer, 2005, Algebraic K-Theory, Algebraic Cycles and Arithmetic Geometry, S. 351–428 (englisch). 
2. ↑ Daniel Quillen: On the cohomology and K-theory of the general linear groups over a finite field. In: Ann. of Math. 96. Jahrgang, 1972, S. 552–586 (englisch). 
3. ↑ Günter Harder: Die Kohomologie S-arithmetischer Gruppen über Funktionenkörpern. In: Invent. Math. 42. Jahrgang, 1977, S. 135–175, doi:10.1007/bf01389786, bibcode:1977InMat..42..135H. 
4. ↑ Dan Grayson: Algebraic K-theory, Part I (Oberwolfach, 1980) (= Lecture Notes in Math. Band 966). Springer, Berlin, New York 1982, Finite generation of K-groups of a curve over a finite field (after Daniel Quillen) – (englisch, uiuc.edu [PDF]).