Parabola nodata

Die Parabola nodata (von lateinisch parabola „Parabel“ sowie von lateinisch nodus „Knoten“) ist eine algebraische Kurve dritter Ordnung in der euklidischen Ebene. Sie gehört zu den fünf divergenten Parabeln von Newton.^{[1][2][3][AuH 1] [AuH 2][AuH 3]}

Die Parabola nodata lässt sich in folgender Weise definieren:^[1]

Seien ${\displaystyle a_{0},a_{1},a_{2}\in \mathbb {R} }$ drei reelle Konstanten mit ${\displaystyle a_{0}>0}$ und ${\displaystyle a_{1}<a_{2}}$. Dann ist die zugehörige Parabola nodata diejenige Kurve im ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ , deren Punkte ${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}}$ die Gleichung

${\displaystyle y^{2}=a_{0}\cdot (x-a_{1})\cdot (x-a_{2})^{2}}$

erfüllen.^{[AuH 4][AuH 5]}

Man definiert zunächst die folgende Abbildung:^[2]

${\displaystyle \phi \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2},\;t\mapsto \phi (t)={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}$

mit

${\displaystyle x=x(t)=t^{2}}$

und

${\displaystyle y=y(t)={\frac {t}{4}}\cdot \left(4-t^{2}\right)}$ .

Dadurch gewinnt man die Parametrisierung der zu ${\displaystyle \phi }$ gehörigen glatten Kurve

${\displaystyle K=\{{\phi }(t)\mid {-\infty }<t<{+\infty }\}}$.

Wie man dieser Parametrisierung unmittelbar entnimmt, erfüllen die Punkte ${\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\in K}$ die Gleichung

${\displaystyle y^{2}={\frac {1}{16}}\cdot (x-0)\cdot (x-4)^{2}}$.

Es handelt sich also um eine Parabola nodata.

Darstellung einiger Punkte der Parabola nodata

${\displaystyle t}$	${\displaystyle {\phi }(t)}$		${\displaystyle t}$	${\displaystyle {\phi }(t)}$
0	${\displaystyle {\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}}$		0	${\displaystyle {\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}}$
1	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\{\tfrac {3}{4}}\end{pmatrix}}}$		−1	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\-{\tfrac {3}{4}}\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle {\tfrac {2}{3}}\cdot {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\tfrac {4}{3}}\\{\tfrac {4}{9}}\cdot {\sqrt {3}}\end{pmatrix}}}$		${\displaystyle -{\tfrac {2}{3}}\cdot {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\tfrac {4}{3}}\\-{\tfrac {4}{9}}\cdot {\sqrt {3}}\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}2\\{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\end{pmatrix}}}$		${\displaystyle -{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}2\\-{\tfrac {\sqrt {2}}{2}}\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}3\\{\tfrac {\sqrt {3}}{4}}\end{pmatrix}}}$		${\displaystyle -{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}3\\-{\tfrac {\sqrt {3}}{4}}\end{pmatrix}}}$
2	${\displaystyle {\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}}}$		−2	${\displaystyle {\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle {\sqrt {5}}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}5\\-{\tfrac {\sqrt {5}}{4}}\end{pmatrix}}}$		${\displaystyle -{\sqrt {5}}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}5\\{\tfrac {\sqrt {5}}{4}}\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle {\sqrt {6}}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}6\\-{\tfrac {\sqrt {6}}{2}}\end{pmatrix}}}$		${\displaystyle -{\sqrt {6}}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}6\\{\tfrac {\sqrt {6}}{2}}\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle {\sqrt {7}}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}7\\-{\tfrac {3}{4}}\cdot {\sqrt {7}}\end{pmatrix}}}$		${\displaystyle -{\sqrt {7}}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}7\\{\tfrac {3}{4}}\cdot {\sqrt {7}}\end{pmatrix}}}$
${\displaystyle {\sqrt {8}}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}8\\-{\sqrt {8}}\end{pmatrix}}}$		${\displaystyle -{\sqrt {8}}}$	${\displaystyle {\begin{pmatrix}8\\{\sqrt {8}}\end{pmatrix}}}$
3	${\displaystyle {\begin{pmatrix}9\\-{\tfrac {15}{4}}\end{pmatrix}}}$		−3	${\displaystyle {\begin{pmatrix}9\\{\tfrac {15}{4}}\end{pmatrix}}}$

(1) ${\displaystyle K}$ liegt ganz in der rechten Halbebene ${\displaystyle H^{+}=\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}\mid x\geq 0\}}$

(2) ${\displaystyle K}$ nähert sich für sehr kleine ${\displaystyle t}$ mehr und mehr der Parabel mit ${\displaystyle x=t^{2}\;,\;y=t\;(t\in \mathbb {R} )}$ an.

(3) ${\displaystyle K}$ ist eine achsensymmetrische ebene Figur und hat die Abszissenachse als Symmetrieachse.

(4) ${\displaystyle K}$ schneidet die Abszissenachse bei ${\displaystyle t=-2\;,\;t=0\;,\;t=2}$, geht also durch die Punkte ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}}$ und ${\displaystyle {\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}}}$. Letzterer ist also ein Doppelpunkt.

(5) Für die Ableitungen gilt:

${\displaystyle {\dot {x}}=2t}$

${\displaystyle {\dot {y}}=1-{\tfrac {3}{4}}\cdot t^{2}}$

(6) ${\displaystyle K}$ hat im Ursprung, also für ${\displaystyle t=0}$, die Ordinatenachse als Tangente.

(7) ${\displaystyle K}$ besitzt zwei zur Abszissenachse parallele Tangenten für ${\displaystyle t=\pm {\tfrac {2}{3}}\cdot {\sqrt {3}}}$, also in den Punkten ${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\tfrac {4}{3}}\\{\tfrac {4}{9}}\cdot {\sqrt {3}}\end{pmatrix}}}$ und ${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\tfrac {4}{3}}\\-{\tfrac {4}{9}}\cdot {\sqrt {3}}\end{pmatrix}}}$. Diese beiden Punkte bilden demnach die beiden lokalen Extrempunkte von ${\displaystyle K}$.

(8) ${\displaystyle K}$ wächst über alle Grenzen, denn es gilt ${\displaystyle \lim _{t\to {\pm \infty }}{x(t)}={+\infty }}$ und ${\displaystyle \lim _{t\to {\pm \infty }}{y(t)}={\mp \infty }}$.

(9) Die Teilkurve ${\displaystyle K^{*}=\{{\phi }(t)\mid {-2}\leq t\leq {+2}\}\subset K}$ ist die Randkurve eines symmetrischen Flächenstücks innerhalb der rechten Halbebene, dessen Flächeninhalt ${\displaystyle A_{K^{*}}}$ sich durch folgende Integralrechnung ergibt:^{[AuH 6]}

${\displaystyle A_{K^{*}}=\int _{-2}^{+2}\left(y\cdot {\dot {x}}\right)\,\mathrm {dt} =\int _{-2}^{+2}\left({\tfrac {4t-t^{3}}{4}}\cdot 2t\right)\,\mathrm {dt} ={\tfrac {1}{2}}\int _{-2}^{+2}\left(4t^{2}-t^{4}\right)\,\mathrm {dt} =4{\tfrac {4}{15}}}$.^{[AuH 7]}

• Newtonscher Knoten

• Klemens Burg, Herbert Haf, Friedrich Wille: Höhere Mathematik für Ingenieure. Band IV: Vektoranalysis und Funktionentheorie. B. G. Teubner Verlag, Stuttgart 1990, ISBN 3-519-02958-8, S. 24 ff. ((zbMATH Open)). 
• Gerd Fischer: Ebene algebraische Kurven (= vieweg studium: Aufbaukurs Mathematik). Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig 1994, ISBN 3-528-07267-9, Einführung, S. 3 ff. (Eintrag zbMATH Open). 
• Kuno Fladt: Analytische Geometrie spezieller ebener Kurven. Akademische Verlagsgesellschaft, Frankfurt am Main 1962, 5. Kapitel. Die Kurven 3. Grades (3. Ordnung) § 8 Die Newtonschen Parabeln. Nr. 97−100, S. 133 ff. (Eintrag zbMATH Open). 
• Gino Loria: Spezielle algebraische und transzendente ebene Kurven: Theorie und Geschichte. Autorisierte, nach dem italienischen Manuskript bearbeitete deutsche Ausgabe von Fritz Schütte (= B. G. Teubners Sammlung von Lehrbüchern auf dem Gebiete der mathematischen Wissenschaften mit Einschluß ihrer Anwendungen. V,1). 2. Auflage. B. G. Teubner Verlag, Leipzig 1902, II. Abschnitt. Kurven dritter Ordnung, S. 14 ff. (Eintrag zbMATH Open – Ausgabe 1902 auf archive.org). 
• W. W. Rouse Ball: On Newton’s classification of cubic curves. In: Proceedings of the London Mathematical Society. Band 22, 1891, S. 104–143 (Eintrag zbMATH Open). 
• Karl Wörle, Johannes Kratz, Karl–August Keil: Infinitesimalrechnung. Ein Lehr– und Arbeitsbuch. Ausgabe für mathematisch–naturwissenschaftliche Gymnasien (= Mathematik für Gymnasien. Band 7). 4. Auflage. Bayerischer Schulbuchverlag, München 1967, S. 322 ff. 

1. ↑ ^{a b} Gino Loria: Spezielle algebraische und transzendente ebene Kurven ... (= B. G. Teubners Sammlung von Lehrbüchern auf dem Gebiete der mathematischen Wissenschaften mit Einschluß ihrer Anwendungen. V,1). Teubner, Leipzig 1902, S. 17–18. 
2. ↑ ^{a b} Karl Wörle et al.: Infinitesimalrechnung. bsv, München 1967, S. 322–323. 
3. ↑ Kuno Fladt: Analytische Geometrie spezieller ebener Kurven. Akademische Verlagsgesellschaft, Frankfurt am Main 1962, S. 131−133. 

1. ↑ In der zweibändigen Abhandlung Spezielle algebraische und transzendente ebene Kurven orientiert sich der Autor Gino Loria hinsichtlich der Bezeichnung (und ebenso hinsichtlich der Klassifikation) an Newton.
2. ↑ Nach Kuno Fladts Darstellung in der Abhandlung über die Analytische Geometrie spezieller ebener Kurven zählen neben der Parabola nodata zu den newtonschen divergenten Parabeln überdies noch die (sogenannte) Parabola pura, die Parabola campaniformis cum ovali, die Parabola punctata und die Parabola cuspidata.
3. ↑ Dem Lehrbuch von Wörle/Kratz/Keil zufolge wird als eingedeutschte Bezeichnung auch Knotenparabel verwandt. Wörtlich übersetzt ist es die verknotete Parabel.
4. ↑ Jeder Punkt der Parabola nodata erfüllt notwendigerweise die Ungleichung ${\displaystyle x\geq a_{1}}$.
5. ↑ Betrachtet man den Grenzfall ${\displaystyle a_{1}=a_{2}}$ zu, so gewinnt man die Kurve ${\displaystyle y^{2}=a_{0}\cdot (x-a_{1})^{3}}$ , die Loria zufolge von Newton als Parabola cuspidata bezeichnet wurde. Im Falle ${\displaystyle a_{1}=a_{2}=0}$ hat man also die semikubische (neilsche) Parabel.
6. ↑ Für eine stückweise glatte geschlossene Jordankurve ${\displaystyle J}$ mit der Parametrisierung ${\displaystyle t\mapsto {\begin{pmatrix}x(t)\\y(t)\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}\;(t\in [a,b]\subset \mathbb {R} )}$ hat das von ${\displaystyle J}$ umschlossene Innengebiet den Flächeninhalt ${\displaystyle A_{J}=\int _{a}^{b}{y\cdot {\dot {x}}}\,\mathrm {dt} }$ . Vgl. Burg / Haf / Wille, S. 26.
7. ↑ Ein anderes Standardbeispiel gibt Gerd Fischer in seiner Monographie Ebene algebraische Kurven (S. 3–5). Es ist die Kurve ${\displaystyle C=\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}\mid y^{2}=(x+1)\cdot x^{2}\}}$, die Fischer zufolge als Newtonscher Knoten bezeichnet wird. Es handelt sich um die Parabola nodata mit ${\displaystyle a_{0}=1\;,\;a_{1}=-1\;,\;a_{2}=0}$. Ihre Parametrisierung ist

   ${\displaystyle \phi \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2},\;t\mapsto \phi (t)={\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}$

   mit

   ${\displaystyle x=x(t)=t^{2}-1}$

   und

   ${\displaystyle y=y(t)=t-t^{3}}$ .