Omega-Konstante

Die Omega-Konstante ${\displaystyle \Omega }$ ist eine mathematische Konstante, die implizit durch

${\displaystyle \Omega e^{\Omega }=1}$

mit der Eulerschen Zahl ${\displaystyle e}$ definiert ist. Es gilt

${\displaystyle \Omega =W(1),}$

wobei ${\displaystyle W}$ die Lambertsche W-Funktion ist. Die Bezeichnung ${\displaystyle \Omega }$ kommt von Omegafunktion, dem zweiten Namen der Lambertschen W-Funktion.

Die ersten Dezimalstellen von ${\displaystyle \Omega }$ lauten

${\displaystyle \Omega =0{,}567\,143\,290\,409\,783\,872\,999\,968\,662\,210\dots }$^[1]

• ${\displaystyle \Omega =-\ln \Omega }$  bzw.  ${\displaystyle \Omega =\ln {\tfrac {1}{\Omega }}}$
• ${\displaystyle \Omega =e^{-\Omega }}$  bzw.  ${\displaystyle {\tfrac {1}{\Omega }}=e^{\Omega }}$, d. h., an der Stelle ${\displaystyle \Omega }$ schneiden sich die Exponentialfunktion ${\displaystyle x\mapsto e^{x}}$ und die Funktion ${\displaystyle x\mapsto 1/x}$.
• Wenn man einen Potenzturm anlegt, der mit ${\displaystyle e}$ beginnt und mit ${\displaystyle -e}$ nach oben geht, erhält man ${\displaystyle \Omega }$:

${\displaystyle \Omega =e^{-e^{-e^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}$

• Anders formuliert bedeutet dies, dass ${\displaystyle \Omega }$ der Grenzwert der durch

${\displaystyle \Omega _{n+1}=e^{-\Omega _{n}}}$

mit beliebigem Startwert ${\displaystyle \Omega _{0}}$ rekursiv definierten Folge ist.

Die Folge konvergiert mit knapp einer viertel Dezimalstelle (genauer: ${\displaystyle \Omega \lg e}$) pro Glied sehr langsam.^[2]

• Durch

${\displaystyle \Omega =e^{-1}\uparrow \uparrow \infty :=\lim _{n\to \infty }e^{-1}\uparrow \uparrow n}$

kommt in der sog. Pfeilschreibweise die Beziehung

${\displaystyle \Omega =(1/e)^{(1/e)^{(1/e)^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}$

zum Ausdruck, dass ${\displaystyle \Omega }$ also der Wert dieses unendlichen Potenzturmes mit lauter gleichen Basen ${\displaystyle 1/e}$ ist, was wiederum nur eine ziemlich triviale Umformulierung der beiden vorstehenden Eigenschaften darstellt. Sie führt zu den gleichen Folgengliedern.^[3]

• Quadratisch dagegen konvergiert ${\displaystyle \Omega _{n+1}={\tfrac {1+\;\Omega _{n}}{1+e^{\Omega _{n}}}}}$.^[4]
• ${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{(e^{t}-t)^{2}+\pi ^{2}}}\,\mathrm {d} t={\frac {1}{1+\Omega }}=0{,}638\,103\,743\,365\,110\,778\,522\,407\,385\,519\dots }$^[5]
• ${\displaystyle \Omega ={\frac {1}{\pi }}\ \operatorname {Re} \int _{0}^{\pi }\!\!\!\ln {\frac {e^{e^{it}}-e^{-it}}{e^{e^{it}}-e^{it}}}\,\mathrm {d} t}$,^[6] wobei mittels ${\displaystyle \operatorname {Re} }$ der Realteil des Integrals gebildet wird.
• ${\displaystyle \Omega }$ ist eine transzendente Zahl.

Wäre nämlich ${\displaystyle \Omega }$ eine algebraische Zahl, wäre nach dem Satz von Lindemann-Weierstraß ${\displaystyle e^{-\Omega }}$ transzendent. Das widerspricht aber ${\displaystyle e^{-\Omega }=\Omega }$, sodass ${\displaystyle \Omega }$ eine transzendente Zahl sein muss.

1. ↑ Folge A030178 in OEIS
2. ↑ Für Startwert ${\displaystyle \Omega _{0}=1,\ \Omega _{1}=0{,}367\ldots ,\ \Omega _{11}=0{,}566414733\ldots ,\ \Omega _{39}=0{,}5671432903173\ldots }$, 100 Stellen Genauigkeit erreicht ${\displaystyle \Omega _{405}}$.
3. ↑ Für Startwert ${\displaystyle \Omega _{1}=0{,}367\ldots ,\ \Omega _{11}=0{,}566414733\ldots ,\ \Omega _{39}=0{,}5671432903173\ldots }$, 100 Stellen Genauigkeit erreicht ${\displaystyle \Omega _{405}}$.
4. ↑ Für Startwert ${\displaystyle \Omega _{1}=0{,}367\ldots ,\ \Omega _{2}=0{,}55953\ldots ,\ \Omega _{3}=0{,}567132794\ldots ,\ \Omega _{4}=0{,}56714329038985\ldots }$, 182 Stellen Genauigkeit erreicht ${\displaystyle \Omega _{8}}$, mehr als 1,5 Millionen Stellen ${\displaystyle \Omega _{21}}$.
5. ↑ Folge A115287 in OEIS
6. ↑ István Mező: An integral representation for the principal branch of Lambert the W function. Abgerufen am 19. November 2018. 

• Eric W. Weisstein: Omega Constant. In: MathWorld (englisch).
• Folge A030178 in OEIS