Monodromiesatz

Der Monodromiesatz ist ein wichtiger mathematischer Satz aus dem Gebiet der Funktionentheorie und beschreibt die Homotopie-Invarianz der analytischen Fortsetzung einer holomorphen Funktion.

Es seien

• ${\displaystyle \alpha }$ und ${\displaystyle {\tilde {\alpha }}}$ zwei homotope Wege in ${\displaystyle \mathbb {C} }$ (Menge der komplexen Zahlen),
• ${\displaystyle h:=h(t,\tau )}$ eine Homotopie zwischen ${\displaystyle \alpha }$ und ${\displaystyle {\tilde {\alpha }}}$,
• ${\displaystyle K}$ eine offene Kreisscheibe um den gemeinsamen Anfangspunkt von ${\displaystyle \alpha }$ und ${\displaystyle {\tilde {\alpha }}}$,
• ${\displaystyle f_{0}\colon K\to \mathbb {C} }$ eine holomorphe Funktion auf der offenen Kreisscheibe ${\displaystyle K}$ in die Menge der komplexen Zahlen,
• ${\displaystyle K'}$ eine weitere offene Kreisscheibe in ${\displaystyle \mathbb {C} }$,
• ${\displaystyle f_{1},{\tilde {f}}_{1}\colon K'\to \mathbb {C} }$ zwei Funktionen auf ${\displaystyle K'}$ nach ${\displaystyle \mathbb {C} }$.

Außerdem bezeichne ${\displaystyle h_{\tau }:=h(\cdot ,\tau )}$ den ${\displaystyle \tau }$-ten Einzelweg der Homotopie ${\displaystyle h}$.

Es sei ${\displaystyle f_{0}}$ längs eines jeden ${\displaystyle h_{\tau }}$ analytisch fortsetzbar, dann gilt: Entstehen ${\displaystyle f_{1}}$ und ${\displaystyle {\tilde {f}}_{1}}$ aus ${\displaystyle f_{0}}$ durch analytische Fortsetzung längs ${\displaystyle \alpha }$ bzw. ${\displaystyle {\tilde {\alpha }}}$, so ist ${\displaystyle f_{1}={\tilde {f}}_{1}}$.^[1]

1. ↑ Klaus Jänich: Einführung in die Funktionentheorie. 2. Auflage. Springer-Verlag, Berlin / Heidelberg / New York 1980, ISBN 3-540-10032-6.