Mehrfach orthogonale Polynome

Mehrfach orthogonale Polynome sind orthogonale Polynome in einer Variable, welche das Orthogonalitätskriterium bezüglich einer endlichen Familie von Maßen ${\displaystyle \mu _{1},\dots ,\mu _{r}}$ erfüllen. Sie sind nicht zu verwechseln mit den orthogonalen Polynomen in mehreren Variablen, den multivariablen orthogonalen Polynomen. Die Polynome werden in zwei Klassen unterteilt, genannt Typ 1 und Typ 2.

In der Literatur existieren weitere Namen für die mehrfach orthogonalen Polynome, sie werden u. a. auch als ${\displaystyle d}$-orthogonale Polynome, Hermite-Padé-Polynome oder polyorthogonale Polynome bezeichnet.^[1]

Gegeben sei ein Multiindex ${\displaystyle {\vec {n}}=(n_{1},\dots ,n_{r})\in \mathbb {N} ^{r}}$ und ${\displaystyle r}$ positive Maße ${\displaystyle \mu _{1},\dots ,\mu _{r}}$ über den reellen Zahlen. Wie üblich ist ${\displaystyle |{\vec {n}}|=n_{1}+n_{2}+\cdots +n_{r}}$.

Die Polynome vom Typ 1 werden als ${\displaystyle A_{{\vec {n}},j}}$ für ${\displaystyle j=1,2,\dots ,r}$ notiert und als Vektor zusammengefasst ${\displaystyle (A_{{\vec {n}},1},A_{{\vec {n}},2},\dots ,A_{{\vec {n}},r})}$, wobei das ${\displaystyle j}$-te Polynom ${\displaystyle A_{{\vec {n}},j}}$ höchstens vom Grad ${\displaystyle n_{j}-1}$ sein kann. Weiter soll gelten

${\displaystyle \sum \limits _{j=1}^{r}\int _{\mathbb {R} }x^{k}A_{{\vec {n}},j}d\mu _{j}(x)=0,\qquad k=0,1,2,\dots ,|{\vec {n}}|-2,}$

sowie

${\displaystyle \sum \limits _{j=1}^{r}\int _{\mathbb {R} }x^{|{\vec {n}}|-1}A_{{\vec {n}},j}d\mu _{j}(x)=1.}$

Wir haben also ein System von ${\displaystyle |{\vec {n}}|}$ Gleichungen für die ${\displaystyle |{\vec {n}}|}$ Koeffizienten der Polynome ${\displaystyle A_{{\vec {n}},1},A_{{\vec {n}},2},\dots ,A_{{\vec {n}},r}}$ definiert.

Ein Polynom ${\displaystyle P_{\vec {n}}(x)}$ ist vom Typ 2, wenn es monisch ist und vom Grad ${\displaystyle |{\vec {n}}|}$ sowie folgendes Orthogonalitätskriterium erfüllt ist:

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }P_{\vec {n}}(x)x^{k}d\mu _{j}(x)=0,\qquad k=0,1,2,\dots ,n_{j}-1,\qquad j=1,\dots ,r.}$

Schreiben wir ${\displaystyle j=1,\dots ,r}$ aus, erhalten wir folgende Definition der MOP vom Typ 2

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }P_{\vec {n}}(x)x^{k}d\mu _{1}(x)=0,\qquad k=0,1,2,\dots ,n_{1}-1}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }P_{\vec {n}}(x)x^{k}d\mu _{2}(x)=0,\qquad k=0,1,2,\dots ,n_{2}-1}$

${\displaystyle \vdots }$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }P_{\vec {n}}(x)x^{k}d\mu _{r}(x)=0,\qquad k=0,1,2,\dots ,n_{r}-1}$

• Mourad E.H. Ismail: Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable. Hrsg.: Cambridge University Press. 2005, ISBN 978-1-107-32598-2 (Kapitel 23). 
• Andrei Martinez-Finkelshtein und Walter Van Assche: WHAT IS... A Multiple Orthogonal Polynomial. In: Notices of the American Mathematical Society. Band 63, 2016, S. 1029–1031. 
• Walter Van Assche und Els Coussement: Some classical multiple orthogonal polynomials. In: Elsevier (Hrsg.): Journal of Computational and Applied Mathematics. Band 127, Nr. 1–2, 2001, S. 317–347, doi:10.1016/s0377-0427(00)00503-3. 

1. ↑ Mourad E.H. Ismail: Classical and Quantum Orthogonal Polynomials in One Variable. Hrsg.: Cambridge University Press. 2005, ISBN 978-1-107-32598-2.