Malliavin-Ableitung

Die Malliavin-Ableitung (auch stochastische Ableitung genannt) ist ein Begriff aus dem Malliavin-Kalkül und bezeichnet die Ableitung einer Zufallsvariable bezüglich des Ergebnisparameters ${\displaystyle \omega \in \Omega }$. Da Zufallsvariablen meistens fast sicher definiert sind und ${\displaystyle \Omega }$ im Allgemeinen nicht die passende topologische Struktur besitzt, versagen klassische Ableitungsbegriffe wie zum Beispiel die Fréchet-Ableitung und es muss ein neuer Differenzierungsoperator unabhängig von der topologischen Struktur definiert werden.

Die Malliavin-Ableitung ist nach dem französischen Mathematiker Paul Malliavin benannt. Der adjungierte Operator der Malliavin-Ableitung ist der Divergenz-Operator, betrachtet man einen L²-Raum und weißes Rauschen, dann nennt man diesen Skorochod-Integral.

Mit ${\displaystyle C_{p}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})}$ notieren wir den Raum der glatten Funktionen, deren partiellen Ableitungen polynomiales Wachstum besitzen, d. h. ${\displaystyle |f^{(k)}(x)|\leq C(1+|x|^{n})}$ für alle ${\displaystyle k}$ und ein ${\displaystyle n}$.

Sei ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}$ ein vollständiger Wahrscheinlichkeitsraum und ${\displaystyle W}$ ein isonormaler Gauß-Prozess auf einem separablen Hilbert-Raum ${\displaystyle H}$ und ${\displaystyle {\mathcal {F}}:=\sigma (W)}$. Definiere die Klasse ${\displaystyle {\mathcal {S}}\subset L^{2}(\Omega ;\mathbb {R} )}$ glatter Zufallsvariablen der Form

${\displaystyle F=f(W(h_{1}),\dots ,W(h_{n}))}$

für ${\displaystyle h_{1},\dots ,h_{n}\in H,\;f\in C_{p}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} )}$ und ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$.

Die Malliavin-Ableitung einer Zufallsvariable ${\displaystyle F\in {\mathcal {S}}}$ ist die ${\displaystyle H}$-wertige Zufallsvariable

${\displaystyle DF=\sum \limits _{i=1}^{n}\partial _{i}f(W(h_{1}),\dots ,W(h_{n}))h_{i}.}$

Die Richtungsableitung nach ${\displaystyle h\in H}$ ist dann definiert als^[1]

${\displaystyle D_{h}F=\langle DF,h\rangle _{H}=\lim \limits _{\varepsilon \to 0}{\frac {1}{\varepsilon }}[f(W(h_{1})+\varepsilon \langle h_{1},h\rangle _{H},\dots ,W(h_{n})+\varepsilon \langle h_{n},h\rangle _{H})-f(W(h_{1}),\dots ,W(h_{n}))].}$

• Die Ableitung hängt nicht von der Darstellung von ${\displaystyle F}$ ab.
• Der Operator ${\displaystyle D}$ ist abschließbar von ${\displaystyle L^{p}(\Omega )}$ nach ${\displaystyle L^{p}(\Omega ;H)}$ für ${\displaystyle p\geq 1}$ und dieser eindeutige Abschluss wird wieder mit ${\displaystyle D}$ notiert.^[2]
• Wir definieren die ${\displaystyle k}$-te Ableitung als die ${\displaystyle H^{\otimes k}}$-wertige Zufallsvariable durch die Iteration ${\displaystyle D^{k}F:=DD^{k-1}F}$.
• Die Domäne von ${\displaystyle D^{k}}$ in ${\displaystyle L^{p}(\Omega )}$, d. h. die Vervollständigung von ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ bezüglich der Malliavin-Sobolew-Norm definiert durch

${\displaystyle \|F\|_{k,p}=\left[\mathbb {E} [|F|^{p}]+\sum \limits _{j=1}^{k}\mathbb {E} [\|D^{j}F\|_{H^{\otimes j}}^{p}]\right]^{1/p},}$

notieren wir mit ${\displaystyle \mathbb {D} ^{k,p}}$. Der Raum wird manchmal auch als Watanabe-Sobolew-Raum bezeichnet.

• Falls ${\displaystyle g\in C_{p}^{\infty }(\mathbb {R} ^{d},\mathbb {R} )}$ und ${\displaystyle Z=(Z_{1},\dots ,Z_{d})}$ mit ${\displaystyle \forall j=1,\dots ,d,\;Z_{j}\in \mathbb {D} ^{1,2}}$, dann gilt ${\displaystyle g(Z)\in \mathbb {D} ^{1,2}}$ und die Kettenregel

${\displaystyle Dg(Z)=\sum \limits _{i=1}^{d}\partial _{i}g(Z)DZ_{i}.}$

• Für ${\displaystyle H=L^{2}(T)}$ ist die Ableitung ein Prozess wegen der Identifikation ${\displaystyle L^{2}(\Omega ;H)\cong L^{2}(T\times \Omega )}$ und häufig als ${\displaystyle \{D_{t}F,t\in T\}}$ respektive allgemeiner für ${\displaystyle F\in \mathbb {D} ^{k,p}}$ mit der Identifikation ${\displaystyle L^{2}(\Omega ;H^{\otimes k})\cong L^{2}(T^{k}\times \Omega )}$ als ${\displaystyle \{D_{t_{1},\dots ,t_{k}}^{k}F,t_{i}\in T\}}$ notiert.^[3]
• Der adjungierte Operator von ${\displaystyle D}$ wird Divergenzoperator genannt und üblicherweise mit ${\displaystyle \delta }$ notiert. Im ${\displaystyle L^{2}}$-Fall für weißem Rauschen nennt man diesen Skorochod-Integral.
• Durch Tensorierung können wir die Definition auf Hilbert-wertige Variablen ${\displaystyle {\mathcal {S}}(V):={\mathcal {S}}\otimes V}$ erweitern und erhalten eine Abbildung ${\displaystyle {\mathcal {S}}(V)\subset L^{p}(\Omega ;V)}$ nach ${\displaystyle L^{p}(\Omega ;H^{\otimes k}\otimes V)}$.
• Es existiert auch eine Erweiterung zu einem Banach-wertigen Operator ${\displaystyle D:\mathbb {D} ^{k,p}\to L^{p}(\Omega ;\gamma (H,E))}$, wobei ${\displaystyle \gamma (H,E)}$ das Operator-Ideal der ${\displaystyle \gamma }$-radonifizierten Operatoren ist.

• Wir betrachten das kanonische Modell ${\displaystyle \Omega =C_{0}([0,1];\mathbb {R} )}$ und ${\displaystyle H=L^{2}([0,1];\mathbb {R} )}$ und

${\displaystyle F=f(W(t_{1}),\dots ,W(t_{n})),\quad f\in C_{p}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}),\quad 0\leq t_{1}<\cdots <t_{n}\leq 1}$

mit weißem Rauschen

${\displaystyle W(t_{i}):=W(1_{[0,t_{i}]})=\int _{0}^{t_{i}}\mathrm {d} W_{t},}$

dann ist die Ableitung in Richtung ${\displaystyle h\in H}$ gegeben durch

${\displaystyle {}{\begin{aligned}\langle DF,h\rangle _{H}&=\sum \limits _{i=1}^{n}\partial _{i}f(W(h_{1}),\dots ,W(h_{n}))\int _{0}^{t_{i}}h(s)\mathrm {d} s\\&={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}F\left(\omega +\varepsilon \int _{0}^{\cdot }h(s)\mathrm {d} s\right){\bigg |}_{\varepsilon =0}.\end{aligned}}}$

Sei ${\displaystyle F,G\in {\mathcal {S}}}$ und ${\displaystyle h\in H}$, dann gilt

${\displaystyle \mathbb {E} [\langle DF,h\rangle _{H}]=\mathbb {E} [FW(h)]}$

und daraus folgt

${\displaystyle \mathbb {E} [G\langle DF,h\rangle _{H}]=\mathbb {E} [-F\langle DG,h\rangle _{H}+FGW(h)].}$

• David Nualart: The Malliavin Calculus and Related Topics. Hrsg.: Springer Berlin, Heidelberg. 2006, doi:10.1007/3-540-28329-3. 
• Olav Kallenberg: Foundations of Modern Probability. Hrsg.: Springer. 2021, S. 465–486, doi:10.1007/978-3-030-61871-1. 

1. ↑ David Nualart: The Malliavin Calculus and Related Topics. Hrsg.: Springer Berlin, Heidelberg. 2006, doi:10.1007/3-540-28329-3. 
2. ↑ Olav Kallenberg: Foundations of Modern Probability. Hrsg.: Springer. 2021, S. 465–486, doi:10.1007/978-3-030-61871-1. 
3. ↑ David Nualart: The Malliavin Calculus and Related Topics. Hrsg.: Springer Berlin, Heidelberg. 2006, doi:10.1007/3-540-28329-3 (Kapitel 1.2.1).